Casse-tête de septembre 2015
proposé par Diophante
n objets ont leurs poids en grammes tous distincts qui s’échelonnent entre 1 gramme et n grammes mais en l'absence de marquage, le poids de chacun d'eux n'est pas identifié et n'est connu que de Zig. Disposant d’une balance Roberval à double plateau, sans boîte de poids, Zig se fait fort de démontrer le poids exact de tous les objets avec le plus petit nombre possible de pesées faisant appel à des sous-
ensembles de ces objets.
Par exemple:
- si n = 2, avec l'objet de 1g dans le plateau de gauche et l'objet de 2g dans le plateau de droite, la balance penche à droite et Zig démontre ainsi en une pesée le poids exact des deux objets,
- si n = 3, Zig met les deux objets de poids 1g et 2g dans le plateau de gauche et le poids de 3g dans le plateau de droite, les deux plateaux sont à l'équilibre et Zig démontre ainsi en une pesée le poids exact de l'objet de 3g placé dans le plateau de droite et il faut une deuxième pesée pour démontrer le poids exact des deux autres objets.
Pour n variant de 4 à 12, trouvez les nombres de pesées obtenus par Zig.
Justifiez vos réponses.
Solution
Dans la suite nous notons une pesée par son résultat. Par exemple, pour n = 4, soit A + B < C ; nous en déduisons A, B = 1, 2 (sans mettre des { }) ; C = 4 ; D = 3.
4 poids A, B, C, D
Pesée Informations
A + B < C A, B = 1, 2 ; C = 4 ; D = 3
A < B A = 1 ; B = 2
5 poids A, B, C, D, E
Pesée Informations
A < B A < B
C + D < A A = 4 ; B = 5 ; E = 3 ; C, D = 1, 2
C < D C = 1 ; D = 2
6 poids A, B, C, D, E, F
Pesée Informations
A + B + C = D A , B, C = 1, 2, 3 ; D = 6 ; E, F = 4, 5 E < A + B A, B = 2, 3 ; C = 1 ; E = 4 ; F = 5 ;
A < B A = 2 ; B = 3
7 poids A, B, C, D, E, F, G
Pesée Informations
A + B + C < D A , B, C = 1, 2, 3 ; D = 7 ; E, F, G = 4, 5, 6 E < A + B A, B = 2, 3 ; C = 1 ; E = 4 ; F, G = 5, 6
A + F = 7 A = 2 ; B = 3 ; F = 5 ; G = 6
8 poids A, B, C, D, E, F, G, H
Pesée Informations
A < B A < B
B + C + D < B A = 7 ; B = 8 ; C, D, E = 1, 2, 3 ; F, G, H = 4, 5, 6 F < C + D C, D = 2, 3 ; E = 1 ; F = 4 ; G, H = 5, 6
C + G = 7 C = 2 ; D = 3 ; G = 5 ; H = 6
9 poids A, B, C, D, E, F, G, H, I
Pesée Informations
A < B A < B
B < C A < B < C
D + E + F < A A = 7 ; B = 8 ; C = 9 ; D, E, F = 1, 2, 3 ; G, H, I = 4, 5, 6 G < D + E D, E = 2, 3 ; F = 1 ; G = 4 ; H, I = 5, 6
D + H = 7 D = 2 ; E = 3 ; H = 5 ; I = 6
10 poids A, B, C, D, E, F, G, H, I, J
Pesée Informations
A + B + C + D = E A, B, C, D = 1, 2, 3, 4 ; E = 10 ; F, G, H, I, J = 5, 6, 7, 8, 9
A + B < C A, B = 1, 2 ; C = 4 ; D = 3
A + F = B + 4 A = 1 ; B = 2 ; F = 5
G + H = 3 + 10 G, H = 6, 7 ; I, J = 8, 9
G + I = 4 + 10 G = 6 ; H = 7 ; I = 8 ; J = 9
11 poids A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K
Pesée Informations
A + B + C + D < E A, B, C, D = 1, 2, 3, 4 ; E = 11 ; F, G, H, I, J, K = 5, 6, 7, 8, 9, 10
A + B + C + F = 11 A, B, C = 1, 2, 3 ; D = 4 ; F = 5 ; G, H, I, J, K = 6, 7, 8, 9, 10 A + G + 4 = 11 A = 1 ; B, C = 2, 3 ; G = 6 ; H, I, J, K = 7, 8, 9, 10 B + H + I = 6 + 11 B = 2 ; C = 3 ; H, I = 7, 8 ; J, K = 9, 10
H + J = 6 + 10 H = 7 ; I = 8 ; J = 9 ; K = 10
Pour 12 poids, une pesée de plus est suffisante. Plus généralement, pour N, on peut imaginer qu'il faut environ N/2 pesées.
