n objets ont leurs poids en grammes tous distincts qui s’échelonnent entre 1 gramme et n grammes mais en l'absence de marquage, le poids de chacun d'eux n'est pas identifié et n'est connu que de Zig. Disposant d’une balance Roberval à double plateau, sans boîte de poids, Zig se fait fort de démontrer le poids exact de tous les objets avec le plus petit nombre possible de pesées faisant appel à des sous-ensembles de ces objets.
Par exemple:
- si n = 2, avec l'objet de 1g dans le plateau de gauche et l'objet de 2g dans le plateau de droite, la balance penche à droite et Zig démontre ainsi en une pesée le poids exact des deux objets,
- si n = 3, Zig met les deux objets de poids 1g et 2g dans le plateau de gauche et le poids de 3g dans le plateau de droite, les deux plateaux sont à l'équilibre et Zig démontre ainsi en une pesée le poids exact de l'objet de 3g placé dans le plateau de droite et il faut une deuxième pesée pour démontrer le poids exact des deux autres objets.
Pour n variant de 4 à 12, trouvez les nombres de pesées obtenus par Zig. Justifiez vos réponses.
Au delà des cas les plus simples, une méthode pragmatique pour résoudre ces
problèmes consiste à diviser l’ensemble initial en sous-ensembles de une, deux ou trois pièces, puis par une pesée finale d’équilibrer les éléments les plus légers d’un coté, les plus lourds de l’autre avec des éléments déjà identifiés.
Deux pesées :
n=4 : 1+2=3, 1+3=4 n=5 : 1+2=3, 1+3<5 n=6 : 1+2+3=6, 1+6<3+5 Trois pesées :
n=7 : 1+2+3<7, 1+7<3+6, 4<5
n=8 : 1+2+3=6, 1+6<8, 2+4<7 : la première égalité est ambigüe (on pourrait avoir 4, 7 ou 5, 8 au lieu de 3, 6) mais la seconde inégalité lève cette ambigüité. La dernière inégalité permet de trier les groupes (2, 3) (4, 5, 7).
n=9 : 1+2+3+4+6<8+9, 1+2+3=6, 1+5+8 = 3+4+7 : la première inégalité est ambigüe (5 ou 6, 7 ou 8) mais la seconde permet d’identifier, outre 4 et 6 les groupes (1, 2, 3), (5,7) (8,9)
n=10 : 1+2+3+4=10, 1+5+10<8+9, 1+2+8=4+7
n=11 : 1+2+3+4<11, 1+2+5+11=9+10, 3+6+11=2+8+10
n=12 : 1+2+3+4+5+6<10+12, 1+2+3+7+8+10<9+11+12, 1+4+7+9=3+6+12.
La première inégalité est ambigüe (6 et 7 d’une part, 10 et 11 d’autre part) mais avec la seconde, on identifie outre 9, 10, 11 et 12, les groupes (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8) ; d’où le dernier équilibre.