A724. La preuve par x,y,z (2ème épisode)
n objets ont leurs poids en grammes tous distincts qui s’échelonnent entre 1 gramme et n grammes mais en l'absence de marquage, le poids de chacun d'eux n'est pas identifié et n'est connu que de Zig. Disposant d’une balance Roberval à double plateau, sans boîte de poids, Zig se fait fort de démontrer le poids exact de tous les objets avec le plus petit nombre possible de
pesées faisant appel à des sous-ensembles de ces objets.
Par exemple:
- si n = 2, avec l'objet de 1g dans le plateau de gauche et l'objet de 2g dans le plateau de droite, la balance penche à droite et Zig démontre ainsi en une pesée le poids exact des deux objets,
- si n = 3, Zig met les deux objets de poids 1g et 2g dans le plateau de gauche et le poids de 3g dans le plateau de droite, les deux plateaux sont à l'équilibre et Zig démontre ainsi en une pesée le poids exact de l'objet de 3g placé dans le plateau de droite et il faut une deuxième pesée pour démontrer le poids exact des deux autres objets.
Pour n variant de 4 à 12, trouvez les nombres de pesées obtenus par Zig. Justifiez vos réponses
Solution proposée par Jean Nicot
Pour n=4 il suffit de 2 pesées 1+4 = 2+3 et 1+2 < 4
Pour n=5 il suffit de 3 pesées 1+2+3 < 4+5 et 1+2 =3 et 5+2 = 3+4 car 1+2+4 < 3+5 est éliminé par la seconde pesée Pour n=6 il suffit de 3 pesées 1+2+3 = 6 et 1+4 =5 et 2 < 3
Pour n=7 il suffit de 3 pesées 1+2+3 = 6 et 3+6 = 4+5 (d’où 7,3) et 5+2=4+3 car la possibilité
1+2+4 =7 et 4+7=5+6 n’admet pas (5 ou 6) +(1 ou 2)=(6 ou 5) +4 Pour n=8 il suffit de 4 pesées 1+2+3+4+5 = 7+8 ce qui détermine 6
7+1 = 8 ce qui détermine 1,7 et 8. Il reste à étiqueter 2,3,4,5.
2+3=5 ce qui détermine 5 et 4 2 < 3
Pour n=9 il suffit de 4 pesées
8+9 = 1+2+3+5+6 =1+2+3+4+7 ou 7+9= 1+2+3+4+6 ou 7+8=1+2+3+4+5 1+2+3=6 ou 1+2+4=7 ce qui élimine 7+8=1+2+3+4+5
1+2=3 ce qui élimine 1+2+4=7 et détermine 3 et 6.
Il reste 8+9 = 1+2+3+5+6 ou 7+9= 1+2+3+4+6 9+5=1+6+7 détermine 8 , 9 et 1 donc 7 et 4 et 5 et 2
car 9+4 != 1+6+ !6 8+5 !=1+6+ !6 7+4 !=1+6+ !4 sont éliminés.
Pour n=10 il suffit de 4 pesées
1+2+3+4 = 10 ce qui détermine 10
8+9 = 1+2+3+5+6 ce qui détermine 4 et 7
8+1= 9 ce qui détermine 1,8 et 9. Il reste à étiqueter {2+3},{5+6}
6+3 = 5+4 ce qui détermine 2 et 3 , 5 et 6 Pour n=11 il suffit de 5 pesées
10+11= 1+2+3+4+5+6
11= 10+1 ce qui détermine 1, 10 et 11. 7,8,9 n’ont pas encore été utilisés.
9= 7+2 ce qui détermine 2, 7, 9 et 8. Il reste à étiqueter 3,4,5,6 1+2=3 détermine 3
4+2=6 ce qui détermine 4,6 et 5 Pour n=12 il suffit de 5 pesées
1+2+3+4 <11 et
1+2+3+5<12 déterminent {1+2+3} et {4,11} ou {5,12}
1+11=12 détermine 1, 11, 12 et 4, 5 et {2+3}.
6+7+8 < 12+10 détermine 10 et 9 6+2=8 détermine 2,6,8,3,7.
