A724 – La preuve par x, y et z (2ème épisode) [***** à la main]
n objets ont leurs poids en grammes tous distincts qui s’échelonnent entre 1 gramme et n grammes mais en l'absence de marquage, le poids de chacun d'eux n'est pas identifié et n'est connu que de Zig. Disposant d’une balance Roberval à double plateau, sans boîte de poids, Zig se fait fort de démontrer le poids exact de tous les objets avec le plus petit nombre possible de pesées faisant appel à des sous-ensembles de ces objets.
Par exemple:
- si n = 2, avec l'objet de 1g dans le plateau de gauche et l'objet de 2g dans le plateau de droite, la balance penche à droite et Zig démontre ainsi en une pesée le poids exact des deux objets,
- si n = 3, Zig met les deux objets de poids 1g et 2g dans le plateau de gauche et le poids de 3g dans le plateau de droite, les deux plateaux sont à l'équilibre et Zig démontre ainsi en une pesée le poids exact de l'objet de 3g placé dans le plateau de droite et il faut une deuxième pesée pour démontrer le poids exact des deux autres objets.
Pour n variant de 4 à 12, trouvez les nombres de pesées obtenus paz Zig.Justifiez vos réponses.
Solution proposée par Bernard Vignes
Réponse: Zig parvient à réaliser deux pesées pour n = 4,5 et 6 et trois pesées pour n = 7 à 12. Sa méthode consiste à établir au fil des pesées une partition des n objets en sous-ensembles disjoints de taille de plus en plus réduite de façon à obtenir n sous-ensembles à l'issue de la dernière pesée. Généralement lors d'une pesée il met les objets les plus légers de certains sous-ensembles sur le plateau de gauche et les objets les plus lourds de sous-ensembles pas nécessairement identiques aux précédents sur l'autre plateau. La
somme des poids du plateau de gauche est donc supérieure ou égale à une valeur minimale "MinG" tandis que la somme des poids du plateau de droite est inférieure ou égale à une valeur maximale "MaxD". Avec l'ajout éventuel d'objets de masse connue sur l'un ou l'autre des plateaux, Zig obtient soit l'équilibre soit un déséquilibre avec un écart de 1g seulement (la balance penche du côté gauche) qui permettent ainsi de séparer les objets les plus légers des objets les plus lourds.
n = 4
1ère pesée: 1 + 2 < 4. Cette inégalité est sans ambiguïté. On en déduit les poids 3 et 4.
2ème pesée: 1< 2 qui permet d'identifier les poids 1 et 2.
n = 5
1ère pesée: 1 + 4 = 2 + 3. Cette égalité est sans ambiguïté. On en déduit le poids 5 et les deux sous- ensembles (1,4) et (2,3)
2ème pesée: 1 + 5 < 3 + 4. Cette inégalité est sans ambiguïté et permet d'identifier les poids 1 et 2.
n = 6
1ère pesée: 1 + 2 + 3 = 6. Cette égalité est sans ambiguïté. On en déduit le poids 6 et les deux sous- ensembles (1,2,3) et (4,5).
2ème pesée: 1 + 6 < 3 + 5. On met sur le plateau de gauche le poids 1 le plus léger ainsi que le poids 6.
On a donc "somme minimale des poids du plateau de gauche" = 7. On met sur le plateau de droite les poids les plus lourds 3 et 5 des deux sous-ensembles (1,2,3) et (4,5). D'où leur somme maximale = 8.
L'inégalité est alors sans ambiguïté. On en déduit immédiatement les poids 1,3,5 puis 2 et 4.
n = 7
1ère pesée: 1 + 2 + 3 < 7 Cette inégalité est sans ambiguïté et permet d'identifier le poids 7 et les deux sous-ensembles (1,2,3) et (4,5,6).
2ème pesée: 1 + 4 < 6. Cette inégalité obtenue avec les deux poids les plus légers des deux sous-ensembles (1,2,3) et (4,5,6) et le poids le plus lourd du 2ème ensemble est sans ambiguïté et permet d'identifier les poids 1,4 et 6 d'où 5 ainsi que le sous-ensemble (2,3).
3ème pesée: 1 + 2 = 3 qui permet d'identifier les poids 1 et 2.
n = 8
1ère pesée: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 7 + 8. Avec les cinq poids les plus légers sur le plateau de gauche et les deux poids les plus lourds sur le plateau de droite, cette égalité est sans ambiguïté et permet d'identifier le poids 6 et les deux sous-ensembles (1,2,3,4,5) et (7,8)
2ème pesée: 1 + 2 + 3 + 7 = 5 + 8. Cette égalité obtenue avec sur le plateau de gauche les trois poids les plus légers du sous-ensemble (1,2,3,4,5) et le poids le plus léger du sous-ensemble (7,8) et sur le plateau de droite les poids les plus lourds 5 et 8 de ces mêmes sous-ensembles permet d'identifier les poids 5, 7 et 8 d'où 4 ainsi que le sous-ensemble (1,2,3)
3ème pesée: 1 + 8 = 2 + 7 qui permet d'identifier les poids 1 et 2, d'où 3.
n = 9
1ère pesée p₁: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 < 8 + 9. Cette inégalité est ambigüe car on peut avoir:
p₁' : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 < 7 + 9 ou p₁'': 1 + 2 + 3 + 4 + 5 < 8 + 9.
On obtient ainsi les sous-ensembles suivants : p₁ : (1,2,3,4,6) - (5,7) et (8,9)
p₁' : (1,2,3,4,5) - (6,8) et (7,9) p₁'' : (1,2,3,4,5) - (6,7) et (8,9)
2ème pesée: 2 + 4 + 6 = 5 + 7. Cette égalité ne peut être obtenue qu'avec p₁ et permet d'identifier les sous- ensembles (1,3), (2,4,6), (5,7) et (8,9)
3ème pesée: 2 + 5 + 8 < 3 + 6 + 7. Cette inégalité, sans ambiguïté est obtenue avec sur le plateau de gauche les trois poids les plus légers de sous-ensembles (2,4,6), (5,7) et (8,9) et sur le plateau de droite les poids les plus lourds des sous-ensembles (1,3), (2,4,6) et (5,7). Elle permet d'identifier tous les poids de 1 à 9.
n = 10
1ère pesée: 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Cette égalité est sans ambiguïté.et permet d'identifier le poids 10 et les deux sous-ensembles (1,2,3,4) et (5,6,7,8,9)
2ème pesée: 1 + 2 + 3 + 5 + 6 = 8 + 9. Cette égalité obtenue avec sur le plateau de gauche les trois poids les plus légers des sous-ensemble (1,2,3,4,5) et les deux poids les plus légers du sous-ensemble (5,6,7,8,9) et sur le plateau de droite les poids les plus lourds de ce deuxième sous-ensemble permet d'identifier les poids 4 et 7 et les sous-ensembles (1,2,3), (5,6) et (8,9)
3ème pesée: 1 + 7 + 10 = 3 + 6 + 9 qui permet d'identifier tous les poids autres que 4,7 et 10.
n = 11
1ère pesée: 1 + 2 + 3 + 4 +5 + 6 = 10 + 11. Cette égalité est sans ambiguïté.et permet d'identifier les trois sous-ensembles (1,2,3,4,5,6),(7,8,9) et (10,11)
2ème pesée: 1 + 2 + 3 + 10 < 8 + 9 . Cette inégalité obtenue avec sur le plateau de gauche les trois poids les plus légers des sous-ensemble (1,2,3,4,5,6) et le poids le plus léger du sous-ensemble (10,11) et sur le plateau de droite les poids les plus lourds du sous-ensemble (7,8,9) permet d'identifier les poids 7,10 et 11 et les quatre sous-ensembles (1,2,3), (4,5,6) et (8,9).
3ème pesée: 1 + 4 + 8 + 7 = 3 + 6 + 11 qui permet d'identifier tous les poids autres que 7,10 et 11.
n = 12
1ère pesée p₁: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 < 11 + 12 Cette inégalité est ambigüe car on peut avoir +:
p₁' : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 < 11 + 12 ou p₁'': 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 < 10 + 12.
On obtient ainsi les sous-ensembles suivants : p₁ : (1,2,3,4,5,7) - (6,8,9,10) et (11,12)
p₁':(1,2,3,4,5,6) - (7,8,9,10) et (11,12) p₁'' : (1,2,3,4,5,6) - (7,8,9,11) et (10,12)
2ème pesée: 1 + 2 + 3 + 6 + 8 + 9 < 7 + 11 + 12. Cette inégalité ne peut être obtenue qu'avec p₁ et permet d'identifier les poids 7 et 10 et les sous-ensembles (1,2,3),(4,5),(6,8,9) et (11,12).
3ème pesée: 1 + 4 + 6 + 11 = 3 + 9 + 10 qui permet d'identifier tous les poids autres que 7 et 10.
