E453 – Une belle joute [***** à la main]
Diophante choisit un entier n puis Zig et Puce s’adonnent à une joute de calcul mental qui obéit aux règles suivantes :
1) Le premier joueur annonce un nombre pair inférieur ou égal à n,
2) A tour de rôle chaque joueur doit annoncer un nombre parmi les multiples et les diviseurs du nombre choisi par son adversaire et inférieur ou égal à n,
3) Un nombre ne peut être prononcé qu’une seule fois.
Le perdant est le joueur qui ne trouve plus de multiples ou de diviseurs du nombre précédemment choisi.
Diophante choisit successivement les valeurs n = 20,50,100,120,1000,2020 pour six parties consécutives n°1,2,3,4,5,6. Zig joue en premier dans les parties n°1,3,5 et Puce en premier dans les parties n°2,4,6.
On suppose qu’au premier tour de chaque partie, Zig comme Puce choisissent l’entier pair qui optimise leurs chances de gain et qu’aux tours suivants l’un et l’autre jouent au mieux en vue de ne pas être le perdant.
Déterminer les vainqueurs des six parties.
Solution proposée par Jean Nicot
Pour une partie de valeur initiale n paire, il y a seulement A= n-q annonces possibles, q étant le nombre de premiers entre n/2 et n
Pour repérer une partie, on convient de noter successivement : le nombre initial, l’initiale du premier joueur et la suite des annonces en soulignant celles du premier joueur et en double soulignant la valeur finale gagnante.
Partie n° 1- n=20 Zig débute A=20-4=16 20-Z-16-2-8-4-12-3-6-18-9
20-Z-16-4-8-2-18-9-3-6-12 ou …-3-15-5-10-20 ou …-3-15-5-20-10 ou …-3-12-6 20-Z-16-4-8-2-18-6-12-3-9
20-Z-16-4-8-2-18-3-9
20-Z-16-8-4-2-18- et la suite comme les 3 lignes précédentes
20-Z-16-8-4-20-5-15-3-18-9 ou 3- 9-18-2-10 ou 3-6-12-2-10 ou 3- 12-6-18-9 ou 3-12-6-2-10 20-Z-16-8-4-12-6-18-2 -10-20 (ou 20-10) -5-15-3-9
Zig gagne
Partie n° 2- n=50 Puce débute A=50-6=44 50-P-26-13-39-3-27-9-45-5-35-7- 49
50-P-26-13-39-3-27-9-45-15-30-6-36-12-24-8-40-20-10-50-25
50-P-26-13-39-3-27-9-45-15-30-10-20-4-16-8-24-12-36 -6-18-2- … etc 50-P- 26-2-22-11-33-3-27-9-45- 15- …etc
De nombreuses variantes n’ont pas été listées.
Partie n° 3- n=100 Zig débute p 29 31
100-Z- 58- 29 -87 -3-57-19- 95-5-55-11-77-7-91-13-65 100-Z-58-2-62-31-93 -3-57-19- 95-5-55-11-77-7-91-13-65
Partie n° 4- n=120 Puce débute
120- P- 62 - 31 -93 - 3- 69 -23-115-5-85-17-119-7-91-13-65 120-P-62-2-74-37-111-3 - 69 -23-115-5-85-17-119-7-91-13-65
Pour n> 127, il existe 3 nombres premiers p tels que n/4 < p ≤ n/3, on a alors une méthode de gain assurée pour le premier joueur
Partie n° 5- n=1000 ZIG débute [Premiers de 251 à 331]
1000-Z-502-251-753-3-993-331-662 -2-614-307-921 1000-Z-502-2-614-307-921-3-993-331-662
Partie n° 6- n=2000 Puce débute [Premiers de 503 à 661]
2000-P-1006-503-1509-3-1839-613-1226 -2-1018-509-1527
2000-P-1006- 2-1202-601-1803-3-1821-607-1214
Jouer en premier procure un net avantage.
