PARTIE A : Restitution organisée de connaissances Soient z et z

(1)

EXERCICE 3

PARTIE A : Restitution organisée de connaissances Soient z et z

^!

deux nombres complexes non nuls.

arg ! z z

^!

"

+ arg(z

^!

) = arg ! z z

^!

× z

^!

"

= arg(z) [2π], et donc arg ! z

z

^!

"

= arg(z) − arg(z

^!

) [2π].

PARTIE B 1) |z

A

| = #

1

²

+ (−1)

²

= √ 2 puis z

A

= 1 − i = √

2 $ 1

√ 2 − 1

√ 2 i

%

= √ 2 !

cos !

− π 4

"

+ i sin !

− π 4

""

= √

2e

^−iπ/4

.

|z

A

| = √

2 et arg(z

A

) = − π 4 [2π].

2) a)

z

B

z

A

= 2 + √ 3 + i

1 − i = (2 + √

3 + i)(1 + i)

(1 − i)(1 + i) = 2 + √

3 + (2 + √

3)i + i − 1

1

²

+ (−1)

²

= 1 + √ 3

2 + i 3 + √ 3 2 . b) Donc,

z

B

z

A

= ! 1 + √

3 "

&

1 2 + i

√ 3 2

'

= ! 1 + √

3 " ! cos ! π

3 "

+ i sin ! π 3

""

= ! 1 + √

3 "

e

^iπ/3

.

c) Puis, d’après la question 1), z

B

= !

1 + √ 3 "

e

^iπ/3

z

A

= ! 1 + √

3 "

e

^iπ/3

× √

2e

^−iπ/4

= ! √ 2 + √

6 "

e

ⁱ⁽^π³⁻^π⁴⁾

= ! √ 2 + √

6 "

e

^iπ/12

.

z

B

= ! √ 2 + √

6 "

e

^iπ/12

.

3) a) z

B1

= e

^−iπ/6

z

B

= e

^−iπ/6

! √ 2 + √

6 "

e

^iπ/12

= ! √ 2 + √

6 "

e

^−iπ/12

. b) z

B1

= !! √

2 + √ 6 "

e

^iπ/12

"

= z

B

et donc

B

1

est le symétrique de B par rapport à l’axe ( O; − → u )

.

1 2 3 4

−1

−2

−3

1 2

−1

A

B

1

4) a) On note s la symétrie par rapport à l’axe ( O; − → u )

D’après la question 3)b), le point B appartient à (E). D’autre part, O

1

= r(O) = O puis O

^!

= s(O

1

) = s(O) = O. Donc les points O et B appartiennent à l’ensemble (E).

5

(2)

b) z

1

= e

^−iπ/6

z = e

^−iπ/6

× ρe

^iθ

= ρe

^i(θ−^π⁶⁾

puis z

^!

= z

1

= (

ρe

^i(θ−^π⁶⁾

)

= ρe

ⁱ⁽^π⁶^−θ)

. Soit M un point du plan distinct de O, d’affixe z = ρe

^iθ

avec ρ ∈ ]0, + ∞ [ et θ ∈ R.

M ∈ (E) ⇔ z

^!

= z ⇔ ρe

ⁱ⁽^π⁶^−θ)

= ρe

^iθ

⇔ e

ⁱ⁽^π⁶^−θ)

= e

^iθ

(car ρ % = 0)

⇔ il existe un entier relatif k tel que θ = π

6 − θ + 2kπ

⇔ il existe un entier relatif k tel que θ = π 12 + kπ c) Soit M un point du plan. On note z son affixe.