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Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Devoir surveillé n° 3
Exercice 1 : Restitution organisée des connaissances
Le but de l’exercice est de démontrer est de démontrer l’unicité de la fonction solution du système
y′=y y(0)=1 Pré requis :
• Nous admettrons l’existence d’au moins une fonction f solution du système
y′=y y(0)=1.
• Nous admettrons que f ne s’annule pas sur Ë.
Démontrer l’unicité de la solution du système
y′=y y(0)=1 ( Aide : On pourra considérer une fonction g solution de
y′=y
y(0)=1 et la fonction φ définie sur Ë par φ(x)=g(x) f(x) )
Exercice 2
Soit f la fonction définie sur IR par f(x)= x ex−x .
On note Cf sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthogonal
(
O,Åi,Åj)
, l’unité graphique est 2 cm sur l’axe des abscisses et 5 cm sur l’axe des ordonnées.Partie A
Soit g la fonction définie sur IR par g(x)=ex−x−1.
1. Etudier les variations de g sur Ë. En déduire le signe de g(x).
2. Démontrer que ┐x☻IR, ex−x>0.
Partie B 1.
a) Calculer les limites de la fonction f en +õ et –õ.
b) Interpréter graphiquement les résultats précédents.
2.
a) Calculer f′(x) , f′ désignant la fonction dérivée de f.
b) Etudier le sens de variations de f, puis dresser son tableau de variations.
3.
a) Déterminer une équation de la tangente T à Cf au point d’abscisse 0.
b) A l’aide de la partie A, étudier la position relative de Cf par rapport à T.
4. Tracer la droite T, les asymptotes et la courbe Cf . Exercice 3
1. On donne deux nombres complexes z1=2−5i et z2=1+2i. Donner la forme algébrique des complexes suivants : z1+z2 et z1z2 et z1z22.
2. Soient x et y deux réels,
A chaque nombre complexe z=x+i y, on associe le nombre complexe Z=1+z+z2. i. Ecrire Z sous forme algébrique.
ii. Déterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que Z soit un réel.
iii. En déduire l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant la condition précédente.
