Devoir surveillé n° 3 Devoir surveillé n° 3 Devoir surveillé n° 3 Devoir surveillé n° 3 ---- correction correction correction correction Exercice 1 : Restitution organisée des connaissances (4 points)

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TS - DS3 – Correction Page 1 sur 3

Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Devoir surveillé n° 3 Devoir surveillé n° 3 Devoir surveillé n° 3

Devoir surveillé n° 3 ---- correction correction correction correction

Exercice 1 : Restitution organisée des connaissances (4 points)

Le but de l’exercice est de démontrer est de démontrer l’unicité de la fonction solution du système _









y′=y y(0)=1 Pré requis :

• Nous admettrons l’existence d’au moins une fonction f solution du système



y′=y y(0)=1.

• Nous admettrons que f ne s’annule pas sur Ë.

Démontrons l’unicité de la solution du système



y′=y y(0)=1 : Considérons une solution g de _^^y′=y

y(0)=1 et montrons alors que g=f.

Pour cela considérons la fonction φ définie sur Ë par φ(x)=g(x) f(x).

• f et g sont solutions de _^^y′=y

y(0)=1 donc f(0)=g(0)=1 donc φ(0)=1

• g est dérivable sur Ë et f est dérivable et ne s’annule jamais sur Ë donc φ est dérivable sur Ë et φ′=g′f−g f ′ f²

• g et f sont solutions de _^^y′=y

y(0)=1 donc f ′=f et g′=g d’où φ′= g f −g f

f²=0 donc φ est une fonction constante et ┐x☻Ë φ(x)=φ(0)=1 donc g(x)

f(x)=1 donc ┐x☻Ë, g(x)=f(x) càd g=f.

Ceci prouve donc l’unicité de la solution de _^^y′=y

y(0)=1 4 points

Exercice 2 (11 points)

Soit f la fonction définie sur IR par f(x)= x e^x−x . Partie A

Soit g la fonction définie sur IR par g(x)=e^x−x−1.

1. Etudions les variations de g et déduisons-en son signe.

g est dérivable sur IR comme somme de fonctions dérivables sur IR et ┐x☻IR, g′(x)=e^x−1 e^x−1>0ñe^x>1ñe^x>e⁰ñx>0

Ainsi



^g^′(x)>0 si x☻]0;+õ[

g′(0)=0

g′(x)<0 si x☻]- õ;0[ d’où

g est strictement croissante sur [0;+õ[ et strictement décroissante sur ]-õ;0] 1,5 points Ainsi si x>0 alors g(x)>g(0) càd g(x)>0 et si x<0 alors g(x)>g(0) càd g(x)>0

donc ┐x☻IR*, g(x)>0 et g(0)=0

Ainsi, pour tout x☻IR, g(x)Ã0 0,5 point 2. Justifions que ┐x☻IR, e^x−x>0

D’après 1., on sait que ┐x☻IR, g(x)Ã0 donc e^x−x−1Ã0 càd e^x−xÃ1>0 Ainsi ┐x☻IR, e^x−x>0 . 0,5 point

Partie B

1. a. Limites de f

Limite en +õ : f(x)= x

e^x−x= x

e^x

(

1−xe^-x

)

= x e^x

1

1−xe^-^x. On a lim

x↔ +õ-xe^-x= lim

X↔ -õXe^X=0 donc lim

x↔+õ1−xe^-x=1

(2)

De plus, lim

x↔ +õ

e^x

x =+õ donc lim

x↔+õ

x

e^x=0 d’où lim

x↔+õf(x)=0 1 point Limite en –õ :┐xý0, f(x)= x

e^x−x= x x



e^x x −1

= 1 e^x

x −1 lim

x↔-õ

e^x

x =0 d’où lim

x↔-õ

e^x

x −1=-1 donc lim

x↔-õf(x)=-1 1 point b. Interprétation graphique :

On déduit de la question 1.a. que les droites d’équation y=0 et y=-1 sont respectivement asymptotes horizontales à C_f au voisinage de +õ et de –õ. 0.5 point

2. a. Calculons f ′(x).

u:x→x est dérivable sur IR et v:x→e^x−x est dérivable et ne s’annule pas sur IR donc f= u

v est dérivable sur IR et f ′=u′v−uv′

v² ,

┐x☻IR, f′(x)=e^x−x−x

(

e^x−1

)

(

e^x−x

)

² =e^x−x−xe^x+x

(

e^x−x

)

² = e^x(1−x)

(

e^x−x

)

² 1,5 points b. Etudions le sens de variation de f

┐x☻IR, e^x>0 et

(

e^x−x

)

²>0 (d'après A.2). Ainsi f ′(x) est toujours du signe de 1−x. Donc



^f^′(x)>0 si x<1 f ′(1)=0

f '(x)<0 si x>1 d’où



f est strictement croissante sur]-õ;1]

fest strictement décroissante sur[1;+õ[ 1 point

x −∞ 1 +∞

signe de f ′(x) + −

f

1 e−1

-1 0

3. a. Déterminons une équation de la tangente T à C_f au point d’abscisse 0.

f est dérivable en 0, donc l’équation réduite de la tangente à C_f au point d’abscisse 0 est y=f′(0)(x−0)+f(0) Or, f ′(0)=e⁰(1−0)

(

e⁰−0

)

²=1

1=1 et f(0)= 0

e⁰−0=0.

Ainsi, l’équation réduite de T est y=x . 1 point b. Etudions la position relative de C_f par rapport à T.

f(x)−x= x

e^x−x−x=x−xe^x+x²

e^x−x =x

(

1−e^x+x

)

e^x−x =-xg(x) e^x−x .

Or, ┐x☻IR, g(x)Ã0 et e^x−x>0, donc f(x)−x est toujours du signe de –x Ainsi f(x)−xÃ0 si xÂ0 et f(x)−xÂ0 si xÃ0,

On déduit que C_f est au dessus de T sur ]-õ;0] et en dessous sur [0;+õ[ . 1 point

4. Tracés de la droite T, des asymptotes et de la courbe C_f : 1,5 point

C

y=-1 T

2 3 4

-1 -2 -3 -4

-1

0 1

1

x y

(3)

Exercice 3 (6 points)

a. On donne deux nombres complexes z1=2−5i et z2=1+2i. 3 points Donnons la forme algébrique des complexes suivants : z1+z2 et z1z2 et z1z22 :

z1+z₂=2−5i+1+2i=3−3i ;

z1z2=(2−5i)(1+2i)=2+4i−5i−10i²=12−i ;

z1z22=(2−5i)(1+2i)²=(2−5i)

(

1+4i+4i²

)

=(2−5i)(-3+4i)=-6+8i+15i−20i²=14+23i b. Soient x et y deux réels,

A chaque nombre complexe z=x+i y, on associe le nombre complexe Z=1+z+z².

i. Déterminons la forme algébrique de Z : 1 point

Z=1+z+z²=1+(x+iy)+(x+iy)²=1+x+iy+x²+2ixy−y²=

(

1+x+x²−y²

)

+iy(1+2x) Donc Re(Z)=1+x+x²−y² et Im(Z)=y(1+2x)

ii. Déterminons l’ensemble des nombres complexes z tels que Z soit un réel : 1 point Z réel ñ Im(Z)=0ñy(1+2x)=0ñy=0 ou 1+2x=0 ñy=0 ou x=- 1

2 Donc Z est un réel ssi z=x ou z=- 1

2 +y i

iii. Déduisons-en l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant la condition précédente. 1 point

Z est réel ssi y=0 ou x=- 1 2 Ainsi

l’ensemble des points M d’affixe z tels que Z soit réel est la réunion des droites d’équation y=0 et x=- 1 2 .