Correction du devoir surveillé n

Correction du devoir surveillé n ^◦ 2

Exercice 1. Pour les trois questions, on peut faire un tableau de restes :

Reste dex modulo 5 0 1 2 3 4

Reste de 2x modulo 5 0 2 4 1 3

Reste dex² modulo 5 0 1 4 4 1

Reste de (3x+ 4)(2x+ 1) modulo 5 4 1 0 1 4

On déduit de ce tableau que :

1. l’ensemble des entiers x tels que 2x≡3 [5] est {4 + 5k|k ∈Z}.

2. l’ensemble des entiers x tels que x² ≡3 [5] est∅.

3. l’ensemble des entiers x tels que (3x+ 4)(2x+ 1)≡0 [5] est {2 + 5k|k ∈Z}.

Exercice 2. Soit n∈N. Alors, 7² = 49 = 3×13 + 10≡10 [3] donc 7²ⁿ= (7²)ⁿ ≡10ⁿ [13] et 23 = 13 + 10≡10 [13]. Dès lors, 7²ⁿ−23ⁿ≡10ⁿ−10ⁿ [13]≡0 [13] donc 13 divise 7²ⁿ−23ⁿ.

Exercice 3.

1. Considérons, pour tout n∈N^∗, la proposition P_n : « 10ⁿ ≡10 [45] ».

Comme 10¹ = 10≡10 [45],P₁ est vraie.

Soit k ∈N^∗. Supposons queP_k est vraie.

Alors, 10^k ≡ 10 [45] donc 10^k ×10 ≡ 10×10 [45] soit 10^k+1 ≡ 100 [45]. Or, 100 = 2×45 + 10≡10 [45] donc 10^k+1 ≡10 [45] i.e. Pk+1 est vraie.

Ainsi, on a montré par récurrence que, pour tout n∈N^∗, P_n est vraie i.e. 10ⁿ ≡10 [45] . 2. On a N =

k

X

j=0

a_j10^j =a₀+

k

X

j=1

a_j10^j. Or, grâce à la question précédente, pour tout entier j entre 1 etk, 10^j ≡10 donc 10^ja_j ≡10a_j. Ainsi, N =a₀+ 10

k

X

j=1

a_j. On en déduit que

45|N ⇔N ≡0 [45]⇔a₀+ 10

k

X

j=1

a_j ≡0 [45]⇔45|a₀+ 10

k

X

j=1

a_j.

Ainsi, 45 divise N si et seulement si 45 divise a₀+ 10

k

X

j=1

a_j .

3. Pour N₁, 6 + 10(1 + 0 + 2 + 5 + 1 + 0 + 2) = 116 = 2×45 + 26 n’est pas divisible par 45 donc N₁ n’est pas divisible par 45 .

Pour N₂, 5 + 10(3 + 0 + 2 + 5 + 1 + 0 + 2) = 135 = 3×45 est divisible par 45 donc N₂ est divisible 45 .

Exercice 4.

1. a. On a 2019 = 228×7 + 3 et 063<2019 donc le reste de 2019 modulo 7 est 3 . b. On dresse un tableau de restes :

Reste dem modulo 7 0 1 2 3 4 5 6

Reste dem² modulo 7 0 1 4 2 2 4 1

Ainsi, les restes possibles pour m² modulo 7 sont 0, 1, 2 et 4.

c. Supposons que d est un multiple de 7. Soit (x;y) ∈ N². Alors, d ≡ 0 [7] donc dy² ≡ 0 [7] et ainsi x² −dy² ≡ x² [7]. D’après la question précédente, le reste de x²−dy² modulo 7 est donc 0, 1, 2 ou 4 donc ce reste diffère de celui de 2019 et ainsi x²−dy² 6= 2019. On conclut que l’ensemble des solutions de (Ed) est vide .

2. On a 2019 = 504×4 + 3 et 063<2019 donc le reste de 2019 modulo 4 est 3 . On dresse un tableau de restes :

Reste de m modulo 4 0 1 2 3

Reste de m² modulo 4 0 1 0 1

Ainsi, les restes possibles pour m² modulo 4 sont 0 et 1. Aucun des ces restes n’est égal à 3 donc, par le même raisonnement que précédemment, si d est un multiple de 4 alors

l’ensemble des solutions de (E_d) est vide .

3. a. Comme (x;y) est une solution de (E₁),x²−y² = 2019 donc (x−y)(x+y) = 2019.

Ainsi, comme x et y sont des entiers naturels, x−y et x +y sont entiers donc (x−y;x+y) est un couple de diviseurs de 2019. De plus, commexet y sont positifs, x+yest positif donc, comme (x−y)(x+y)>0,x−yest positif. Ainsi, (x−y;x+y) est un couple de diviseurs positifs de 2019.

b. Soit (x;y) une solution de (E₁). Alors, commex6x+y, on déduit de la question précédente que (x−y;x+y) = (1 ; 2019) ou (x−y;x+y) = (3 ; 673). En remar- quant quex= (x−y)+(x+y)

2 et y= −(x−y)+(x+y)

2 , on en déduit que (x;y) = (1010 ; 1009) ou (x;y) = (338 ; 335).

Réciproquement, on vérifie que 1010²−1009² = 2019 et 338² −335² = 2019 donc l’ensemble des solutions de (E₁) est {(1010 ; 1009) ; (338 ; 335)} .

4. a. Supposons que (x;y) soit une solution de (E_d). Alors,x²−dy² = 2019 i.e.x²−k²d² = 2019 donc x² −(ky)² = 2019. Ainsi, (x;ky) est solution de (E₁) donc, d’après la question précédente,ky = 1009 ou ky = 335. En particulier, k est un diviseur de 1009 ou de 335 donc, comme k > 1, on conclut que k ∈ {5 ; 67 ; 335 ; 1009}.

b. Supposons k = 5. Alors, d’après la question précédente, (x;y) est une solution de (E₅²) si et seulement si (x; 5y) est une solution de (E₁). Comme 5y ne divise pas 1009,

on en déduit que (x;y) est une solution de (E₅²) si et seulement si (x; 5y) = (338 ; 335) donc l’ensemble des solutions de (E₅²) est {(338 ; 67)}. Par le même raisonnement, on trouve que :

— l’ensemble des solutions de (E₆₇²) est {(338 ; 5)} ;

— l’ensemble des solutions de (E₃₃₅²) est {(338 ; 1)}

— l’ensemble des solutions de (E₁₀₀₉²) est {(1010 ; 1)}.