Correction du devoir surveillé n

Correction du devoir surveillé n

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Exercice 1.

1. On dit queb diviseas’il existe un entierktel quea=kb.

2. L’ensemble des diviseurs de 36 dans Zest

D(36) ={−36,−18,−12,−9,−6,−4,−3,−2,−1,1,2,3,4,6,9,12,18,36}.

3. a. Soita,bet ctrois entiers tels que aetb divisentc. Alors, il existe deux entiers ketk⁰ tels quec=kaet c=k⁰bdonc c² =c×c= (ka)×(k⁰b) =kk⁰(ab). Commekk⁰ est entier, on en déduit que abdivisec² .

b. La réciproque deP estP⁰ : « pour tous entiersa,b etc, siabdivise c² alorsaetbdivisent c». La contraposée deP estP⁰⁰ : « pour tous entiersa, bet c, si abne divise pasc² alors a ne divise pascou bne divise pasc».

c. La propositionP⁰ est fausse. Par exemple, pour a= 4, b= 9 et c= 6 alors ab= 36 =c² doncabdivisec² pourtant ni anibne divise c.

Exercice 2.

1. Supposons que 19 divisen−1. Étant donné quen²−1 = (n−1)(n+ 1), 19 divise n²−1. Dès lors, comme 19 divise 19, 19 divise (n²−1) + 19 =n²+ 18. On a donc montré que si 19 divise n−1 alors 19 divisen²+ 18.

2. Supposons que 19 divisen+ 1. Étant donné quen²−1 = (n−1)(n+ 1), 19 divise n²−1. Dès lors, comme 19 divise 19, 19 divise (n²−1) + 19 =n²+ 18. On a donc montré que si 19 divise n+ 1 alors 19 divisen²+ 18.

Exercice 3. — Soit (x;y)∈N² une solution de (E). Alors, (x+ 3)² =y²+ 9 donc (x+ 3)²−y²= 9.

Or, (x+ 3)²−y² = [(x+ 3)−y][(x+ 3) +y] = (x−y+ 3)(x+y+ 3). Ainsi, (x−y+ 3)(x+y+ 3) = 9 donc x−y+ 3 et x+y+ 3 forment un couple de diviseurs de 9. Comme y≥0,x−y+ 3≥x+y+ 3 et, comme xet y sont positifs,x+y+ 3 est positif. Ainsi, (x−y+ 3 ;x+y+ 3) est l’un des couples (1 ; 9) ou (3 ; 3).

Si x−y+ 3 = 1 etx+y+ 3 = 9 alorsx−y=−2 etx+y = 6 doncx= (x+y) + (x−y)

2 = 2 et

y= (x+y)−(x−y)

2 = 4.

Si x−y+ 3 = 3 etx+y+ 3 = 3 alorsx−y = 0 etx+y= 0 doncx=y= 0.

Ainsi, les seules solutions possibles sont (0 ; 0) et (2 ; 4).

Réciproquement, (0 + 3)²= 9 = 9 + 0² et (2 + 3)²= 25 = 9 + 4² donc ces deux couples sont bien solutions.

On conclut donc que l’ensemble des solutions (x;y) de (E) dans N² est{(0 ; 0) ; (2 ; 4)}.

Exercice 4.

1. Par théorème,r = 0 si et seulement si bdivisea.

2. On commence par remarquer quen²+ 3n+ 1 =n²+ 2n+n+ 1 = (n+ 2)n+ (n+ 1) =bn+ (n+ 1).

Or, commen∈N^∗, 0≤n+ 1< b donc l’écriture précédente est la division euclidienne deapar b. Ainsi, r=n+ 1 .

3. Écrivons la division euclidienne de apar b: a=bq+r avec q ∈N et 0≤r < b. Remarquons queq 6= 0 sinon a=r < b ce qui est exclu par l’énoncé puisque a≥b. Ainsi,q ≥1. Dès lors, commeb >0,qb≥b > r donca=bq+r > r+r soit a >2r .

Exercice 5. — Supposons qu’un entiernsoit racine du polynôme P. Alors,an³+bn²+cn+ 1 = 0 donc n(an²+bn+c) = −1 et, comme an²+bn+c est un entier, il s’ensuit que ndivise −1. Ainsi, n= 1 ou n=−1. Ainsi, les seules racines entières possibles pour P sont 1 et −1.

Or, P(1) = 0 si et seulement sia+b+c+ 1 = 0 i.e. a+b+c=−1 etP(−1) = 0 si et seulement si a×(−1)³+b×(−1)²+c×(−1) + 1 = 0 i.e. a−b+c=−1.

On conclut donc queP admet des racines dansZsi et seulement sia+b+c=−1 oua−b+c=−1.