Correction du devoir surveillé
Exercice 1 :
Voici un modèle de barrière de chantier. Elle permet de s’étirer, pour bloquer provisoirement un accès.
Dans cette barrière, l’ensemble des morceaux correspondant aux segments [AH], [BH], [BI], [CI], [CJ]… ont la même longueur.
Dans cet exercice, comme dans la plupart des exercices de géométrie où il faut démontrer des choses, il faut sans doute refaire une figure à main levée et rajouter des codes de longueurs pour mieux modéliser la situation. On obtient finalement la figure ci-dessous, qui va nous aider pour répondre à la suite.
1. a) Donne en justifiant la nature du quadrilatère BCRQ.
BCQR a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et qui sont de la même longueur. C’est donc un rectangle.
b) Que peut-on en déduire pour les droites (BC) et (QR) ?
Comme BCQR est un rectangle, les droites (BC) et (QR) sont parallèles.
2. a) Donne en justifiant la nature du quadrilatère CIRJ.
CIRJ a ses quatre cotés de la même longueur, c’est donc un losange.
b) Que peut-on en déduire pour les droites (CQ) et (DR) ? Comme CIRJ est un losange, les droites (CQ) et (DR) sont parallèles.
3. Prouve que CDRQ est un parallélogramme.
CDRQ a deux cotés [CQ] et [DR] qui sont parallèles et de même longueur, donc CDRQ est un parallélogramme.
On aurait pu dire aussi : CDRQ a ses cotés opposés parallèles (d’après les deux questions précédentes), donc c’est un parallélogramme.
Exercice 2 : Calcule et donne ton résultat sous forme d'un nombre entier relatif.
a. (− 4)2 = (-4)×(-4)=16 (le – est au carré)
b. − 33 = -3×3×3=-27 (le – n’est pas à la puissance 3) c. 71 = 7
d. − 16 = -1×1×1×1×1×1=-1
e. (− 1)6 = (-1)×(-1)×(-1)×(-1)×(-1)×(-1)=1 f. (-4)0 = 1
Exercice 3 : Écris chaque produit sous la forme d'une puissance d'un nombre.
g. 34 × 35 = 3×3×3×3 × 3×3×3×3×3=39 h. (− 4)3 × (− 4)2 = (- 4)5
i. 54
52 = 5×5×5×4 5×5 = 52
j. 56 × 5-8 = 5-2 k. (75)3 = 715 l. 35 × 55 = 155
Exercice 4 :
Des nénuphars, sur un lac, se développent a une vitesse ahurissante. Chaque jour, tant qu’il y a de l’espace, ils sont deux fois plus nombreux. Les nénuphars flottent à la surface de l’eau et occupent une surface circulaire de 10cm de diamètre environ.
On fait alors l’expérience suivante : on met deux nénuphars dans un grand bac rectangulaire de 6m sur 4m.
Dans 20 jours, combien aura-t-on de nénuphars ? Quelle surface vont-ils occuper ?
Tous les jours, les nénuphars sont deux fois plus nombreux. Dit autrement, leur nombres doublent.
On peut donc calculer le nombre de nénuphars pour chaque jour… On va calculer combien ça fait de nénuphars pour les premiers jours…
Jour 0 : 2 Jour 1 : 2×2 Jour 2 : 2×2×2
Jour 3 : 2×2×2×2 = 24 Jour 4 : 2×2×2×2×2 = 25
Donc dans 20 jours, on aura 221 nénuphars. Ici, il fallait faire attention au décalage, vu que dans la situation de départ, on ne commence pas avec 1 nénuphar, mais avec 2 nénuphars.
Un nénuphar a une surface de
Et donc 221 nénuphars vont occuper une surface de cm².
Explique comment aura évolué le nombre de nénuphars entre le 30ème et le 34ème jour.
Entre le 30ième jour et le 34ième jour, le nombre de nénuphars a été multiplier par 2 quatre fois de suite, soit 2×2×2×2 c’est à dire qu’il a été multiplier par 16. On pouvait aussi se dire que le 30ème jour, on aura 231 nénuphars et le 34ème jour, on aura 235 nénuphars, soit une multiplication par 24, c’est à dire par 16
Essaie de déterminer au bout de combien de jour le bac sera recouvert de nénuphars.
On voit qu’au 20ème jour, les nénuphars occupe 164710000 cm² soit 16471 m². C’est déjà bien plus que le bac de 6m par 4m dont la surface fait 24 m² !
On peut donc faire des essais. Par exemple, au jour 6 avec 27 nénuphars, la surface occupée est environ de cm² soit 1 m².
Donc au jour 7 → 2 m². Au jour 8 →4 m². Au jour 9 → 8 m². Au jour 10 → 16 m². Au jour 11 → 32 m².
Le bac sera recouvert entre le jour 10 et le jour 11.
Exercice 5 : La figure ci-dessous correspond au pièce d’un jeu « Le tangram ». Les découpages en pointillé sont indicatifs et auront besoin d’être
compléter.
a) Colorie en rouge l’image du triangle GHK par la rotation de centre E, d’angle 90°, dans le sens direct.
b) Colorie en bleu l’image du triangle EGH par la translation qui transforme G en C.
c) Colorie en vert l’image du carré EKH par la symétrie d’axe (AC).
d) Colorie en gris l’image du triangle GHK par la symétrie de centre K.
