Correction du devoir surveillé n°3 Correction du devoir surveillé n°3 Correction du devoir surveillé n°3 Correction du devoir surveillé n°3
Exercice 1 : voir cours Exercice 2:
1.
2. Démontrons que ABCD est un parallélogramme :
ÄCD a pour coordonnées
(
xD−xC;yD−yC)
, cad ÄCD(6;-2).ÄBA a pour coordonnées
(
xA−xB;yA−yB)
, cad ÄBA(6;-2).Donc ÄCD=ÄBA. Par conséquent, ABCD est un parallélogramme.
3. Soit L le centre du parallélogramme A BCD.
a) Vérifions par le calcul que les coordonnées du point L sont
1;5
2 L est le centre du parallélogramme ABC D alors L est le milieu de [AC].
L est le milieu de [AC] ñ
xL= xA+xC 2 yL= yA+yC2
ñ
x
L=5+(-3 ) 2 yL=4+1 2
ñ
xL=1 yL=5 2 .
Dans le repère
(
O,Åi,Åj)
, L1;52
b) Montrons que les coordonnées du point F sont (-1;-3) :
Le point F est le symétrique du point C par rapport au point E donc ÄEF=ÄCE.
ÄEF=ÄCEñ
xF−xE=xE−xC yF−yE=yE−yC ñ
xF−(-2)=-2−(-3) yF−(-1)=-1−1 ñ
xF=-1 yF=-3. Dans le repère
(
O,Åi,Åj)
, F(-1;-3)c) Démontrons que les droites (EL) et (FA) sont parallèles :
• ÄEL
(
xL−xE;yL−yE)
donc ÄEL 1−(-2);5
2−(-1) donc ÄEL
3;7
2
• ÄFA
(
xA−xF;yA−yF)
donc ÄFA(5−(-1);4−(-3)) donc ÄFA(6;7).• Utilisons alors le critère de colinéarité pour savoir si les vecteurs ÄEL et ÄFA sont colinéaires.
3×7− 7
2 ×6=21−21=0. Par conséquent, les vecteurs ÄEL et ÄFA sont colinéaires.
Donc les droites (E L) et (F A) sont parallèles.
4. Démontrons que les points F, L et K ne sont alignés : ÄFL
1−(-1);5
2−(-3) donc ÄFL
2;11
2 . ÄFK(2−(-1);5−(-3)) donc ÄFK(3;8) 2×8− 11
2 ×3=16− 33 2 =- 1
2 ≠0.
Par conséquent, les vecteurs ÄFL et ÄFK ne sont pas colinéaires.
Donc les points F, L et K ne sont pas alignés.
5. Montrons que le triangle DFC est un triangle rectangle isocèle en F
• Calcul des distances FC, FD et DC : dans le repère orthonormé (O,Åi,Åj), FC=
(
xC−xF)
2+(
yC−yF)
2= (-3−(-1))2+(1−(-3))2. = 4+16= 20 FD=(
xD−xF)
2+(
yD−yF)
2= 20DC=
(
xC−xD)
2+(
yC−yD)
2= 36+4 = 40• On a FC=FD donc le triangle FDC est isocèle en F.
• DC2=40 et FC2+FD2=20+20=40 donc DC2=FC2+FD2
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle FDC est rectangle en F.
• Par conséquent, le triangle F D C est rectangle isocèle en F. Exercice 3 :
1.
a) Montrons que ÄMP=- 3
2ÄAB+2ÄAC :
En utilisant la relation de Chasles, on a ÄMP=ÄMB+ÄBP or ÄMB=1
2ÄAB car M est le milieu de [AB] et ÄBP= 2ÄBC car P est l’image de C par la translation de vecteur ÄBC. D'où ÄMP= 1
2ÄAB+2ÄBC . Or ÄBC=ÄBA +ÄAC par la relation de Chasles.
Donc ÄMP= 1
2ÄAB+2ÄBA+2ÄAC=- 3
2ÄAB+2ÄAC
b) Exprimons le vecteur ÄMN en fonction des vecteurs ÄAB et ÄAC : En utilisant la relation de Chasles, on aÄMN= ÄMA+ÄAN.
Or ÄMA=-1
2ÄAB car M est le milieu de [AB] et ÄAN=2
3ÄAC d’après les hypothèses de l’énoncé.
Donc ÄMN =-1 2ÄAB+2
3ÄAC. 2. Montrons que ÄMP=3ÄMN : 3ÄMN=3
- 1
2ÄAB+ 2
3ÄAC =- 3
2ÄAB+2ÄAC. Donc 3ÄMN=ÄMP.
Les vecteurs ÄMN et ÄMP sont colinéaires. Par conséquent, les points M, N et P sont alignés.
