Correction du devoir surveillé n˚3

Correction du devoir surveillé n˚3

1. u1=u0+v0

2 =0 + 1

2 soit u1= 1

2 etv1=u0+ 2v0

3 = 0 + 2×1

3 soit v1=2 3 . 2. a.

k w u v

1 0 1

2 2 3

2 1

2 7 12

11 18

b. Pour une valeurN en entrée, les valeurs affichées par l’algorithme en sortie sont les valeurs deuN et vN.

3. a. Soitn∈N. Alors,

AXⁿ =

1 2

1 2 1 3

2 3

! un

vⁿ

!

=

1

2un+¹₂vn 1

3uⁿ+²₃vⁿ

!

=

un+vn

2 u_n+2vn

3

!

= un+1

vⁿ+1

!

donc AXn=Xn+1 .

b. Soit la propositionPⁿ : «Xⁿ=AⁿX0».

Etant donné queA⁰X0=I2X0=X0, P0 est vraie.

Supposons que P^k soit vraie pour un certaink∈N.

Alors, d’après la question a,Xk+1=AXk =AA^kX0=A^k+1X0 doncPk+1 est vraie.

On a donc démontré par récurrence que, pour toutn∈N,Xn+1=AXn . 4. a. A l’aide de la calculatrice, on trouve P P^′=I2 etP^′BP =A.

b. Soit la propositionQⁿ : « Aⁿ=P^′BⁿP ».

CommeP^′B⁰P=P^′I2P =P^′P =I2 etA⁰=I2, la propositionP0 est vraie.

SupposonsP^k vraie pour un certaink∈N. Alors, grâce à la question a,

A^k+1 =A^kA= (P^′B^kP)(P^′BP) =P^′B^k(P P^′)BP =P^′B^kI2BP =P^′B^kBP=P^′B^k+1P doncPk+1 est vraie.

On a donc démontré par récurrence que, pour toutn∈N,Aⁿ =P^′BⁿP .

c. Soitn∈N. CommeB est diagonale,Bⁿ= 1ⁿ 0 0 ¹₆ⁿ

!

= 1 0

0 ¹₆ⁿ

!

. Dès lors,

Aⁿ= 1

2 −¹

1 2 2

1 3

1 0

0 ¹₆ⁿ

4 5

6 5

−⁶

5 6 5

= 1

2 −¹

1 2 2

1 3

4 5

6 5

−⁶

5 1 6

ⁿ 6 5

1 6

ⁿ

= 1

2×⁴

5 +¹₂×⁶

5 1 6

ⁿ 1 2 ×⁶

5−¹

2×⁶

5 1 6

ⁿ

1 2×⁴

5 −¹

3×⁶

5 1 6

ⁿ 1 2 ×⁶

5+¹₃×⁶

5 1 6

ⁿ

soit

Aⁿ=

2

5+³₅ ¹₆ⁿ 3 5−³

5 1 6

ⁿ

2 5−²

5 1 6

ⁿ 3

5+²₅ ¹₆ⁿ

!

5. a. Soitn∈N. Alors,Xⁿ =AⁿX0=Aⁿ 0

1

d’après la question 3.b. Ainsi,

Xⁿ= 2

5+³₅ ¹₆ⁿ 3 5−³

5 1 6

ⁿ

2 5−²

5 1 6

ⁿ 3

5+²₅ ¹₆ⁿ 0 1

soit

Xn= 3

5−³

5 1 6

ⁿ

3

5+²₅ ¹₆ⁿ

Etant donné queXn= un

vn

, on en déduit que

un= 3 5 −3

5 1

6 ⁿ

etvn =3 5 +2

5 1

6 ⁿ

.

b. Etant donné que−1<¹₆ <1, lim

n→+∞

1 6

ⁿ

= 0 donc, par somme et produit,

n→+∞lim un= 3

5 et lim

n→+∞vn= 3 5 .