Correction du devoir surveillé
Exercice 1 : (d'après un sujet de brevet 2010)
Un sac contient 12 boules rouges, 4 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune de ces boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard.
a) Calculer la probabilité pour que cette boule soit rouge. (Donner votre résultat sous la forme d'une fraction simplifiée au maximum)
Il y a 12 boules rouges sur 20, donc la probabilité est de
b) Calculer la probabilité pour que cette boule soit noire ou jaune. (Donner votre résultat sous la forme d'une fraction simplifiée au maximum)
Il y a 4 boules noires et 4 jaunes, soit 8 boules sur 20, donc la probabilité est de
c) Calculer la somme des deux probabilités trouvées aux deux questions précédentes. Le résultat était-il prévisible ? Explique.
(=100%) Ce résultat était prévisible, car cela correspond à la probabilité d'obtenir une boule rouge ou une noire ou une jaune : c'est un événement certain ! Plus précisément, les deux événements précédents sont contraires (avoir une boule jaune ou noires correspond à ne pas avoir une boule rouge) et donc la somme de leur probabilité est 1.
d) Combien faut-il enlever ou rajouter de boules jaunes dans le sac pour que la probabilité d'obtenir une boule jaunes soit un tiers ?
Attention, lorsque j'ajoute ou j'enlève des boules, cela change le total. Il n'y aura plus 20 boules ! Il faut donc faire des essais…
Avec une boule jaune en plus, on obtient . Avec deux boules jaunes en plus, on obtient . Avec trois boules jaunes en plus, on obtient . Avec quatre boules jaunes en plus, on obtient .
e) Dans la situation de départ, Léa rajoute une boule rouge, une boule noire et une boule jaune dans le sac. Elle dit que ça ne change pas les probabilités puisqu’elle a rajouté une boule de chaque couleur.
A-t-elle raison ? Tort ? Explique
Léa ajoute la même quantité de boule rouge, noire et jaune, mais cela change les probabilités car il n'y avait pas le même nombre de boules au départ. Si on prend pour la probabilité d'obtenir une boule rouge, on avait
et maintenant, on a . Ces deux fractions sont différentes.
f) A partir de la situation de départ, Justine rajoute 20 nouvelles boules dans le sac. Tiphaine lui demande combien elle a rajouté de boules jaunes, mais Justine n’a même pas regardé la couleur des boules… ! Tiphaine lui dit qu’elle ne peut plus déterminer la probabilité de tirer une jaune. Justine lui dit qu’elle ne peut pas savoir exactement, mais que c’est entre 10 et 60 %… Comment sait-elle cela ? Justine rajoute des boules, mais on ne connaît pas leur couleur. Elles sont peut-être jaunes… peut-être pas ! Il y aura donc entre 4 et 24 boules jaunes au final, sur 40 au total.
Il suffit donc de calculer les pourcentages : pour 4 boules jaunes : %
pour 24 boules jaunes : %
Exercice 2 : Un commerçant vend des T-shirts à 12€ la pièce.
a) Calculer le prix de 3 T-shirts. . 3 T-shirts coûtent 36€.
b) Combien de T-shirts a-t-on achetés si on paie 48€ ? . 4 T-shirts coûtent 48€.
c) On nomme la fonction qui, au nombre de T-shirts achetés noté , associe le prix à payer en euros.
Donner l'expression de (forme algébrique). Quelle est la nature de cette fonction. Justifie.
Il suffit d'exprimer le calcul du prix, en fonction de . Exactement comme on l'a fait dans la question a) avec 3 T-shirts, mais cette fois avec . On fait donc , donc la fonction est . C'est un fonction linéaire car de la forme « un nombre » × . On pouvait aussi dire que c'était une situation de proportionnalité, avec un coefficient .
d) Calculer . Interpréter le résultat dans la situation concrète.
. L'interprétation, c'est juste faire une phrase dans la situation : 5 T-shirts coûtent 60€
e) Déterminer un antécédent de 108 par la fonction . Interpréter le résultat dans la situation concrète.
Donc . L'interprétation, c'est juste faire une phrase dans la situation : 9 T-shirts coûtent 108€
f) Tracer la représentation graphique de cette fonction (en justifiant rapidement comment tu l'as obtenue)
Comme la fonction est linéaire, sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine. Il suffit donc
de placer un autre point pour pouvoir la tracer, par exemple 108€ pour 9 T-shirts.
Cette explication pour le tracée de la courbe est simple, mais elle justifie votre construction. De plus, lorsqu'on choisira un point pour tracer la courbe, on prendra un point qui permet de faire un tracé précis. On évitera de prendre (1 ; 12). Il ne faut pas oublier d'indiquer une légende pour les axes sur la graphique
Exercice 3 : Le graphique ci-dessus donne le nombre de buts marqués par match lors de la coupe du monde de football 2014 au Brésil. Réponds, en justifiant, aux questions suivantes si c'est possible :
Il faut se représenter la série si ça vous aide… On a
0;0;0;0;0;0;0;0;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;2;2;2;2;2;2;2;2;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;4;4;4;4;4;4;4;4;4;5;5;5;5;6;6;7;8 a) Combien de matchs ont été joués ?
7+12+8+20+9+4+2+1+1=64 matchs
b) Combien de temps a duré cette compétition ? On ne peut pas savoir.
c) Quel est le nombre moyen de buts marqué par match lors de cette coupe du monde ?
Il faut faire la somme de tous les buts divisé par le nombre de matchs :
d) Quel est le nombre médian de buts marqué par match lors de cette coupe du monde ?
Il y a 64 matchs, donc il faut faire deux groupes de 32. La médiane est entre les deux groupes… donc entre 3 et 3, c'est 3 !
e) Quelle est l'étendue de cette série ? De 0 à 8 buts, cela fait 8 !
f) Qui a gagné la coupe du monde 2014 ? On ne pouvait pas savoir avec ce qui est donné, mais c'était l'Allemagne (contre l'argentine).
g) Dans le diagramme circulaire ci-dessous, déterminer l'angle au centre du secteur correspondant à 3 buts.
La part de 3 buts doit représenter 20 sur 64. Dans le diagramme circulaire, il faut que cela soit sur 360.
Nombre de buts 20 ?
Total 64 360
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Exercice 4 : On considère deux figures.
- La première figure est un carré de cm de coté dans lequel on a enlevé un petit carré de cm de coté.
- La deuxième figure est un rectangle de cm de longueur sur cm de largeur.
Quelle figure à la plus grande surface ? Justifie ta réponse.
Je rappelle que toute trace de recherche, même partielle, même incomplète sera prise en compte dans l’évaluation.
Il faut commencer par faire les figures à main levée, pour se rendre compte… Il faut aussi se souvenir que l'aire d'un carré s'obtient en multipliant la longueur d'un coté par lui-même, et que l'aire du rectangle s'obtient en multipliant la longueur par la largeur. Il faut le dire, même si on s'arrête là ! C'est un début !
Entre les deux figures, il y a de plus pour la figure carré, donc la figure carré est plus grande car est positif quand est positif.
