Universit´e Paris-Dauphine Ann´ee universitaire 2016-2017 Deuxi`eme ann´ee du DE MI2E Probabilit´es multidimensionnelles et th´eor`emes limite
1. Vous ˆetes vivement invit´e `a lire le sujet dans son int´egralit´e avant de commencer `a composer.
2. Si, au cours de l’´epreuve, vous rep´erez ce qui vous semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, vous le signalez sur la copie et poursuivez l’examen en expliquant les raisons des initiatives que vous ˆetes amen´e `a prendre.
3. Seules les r´eponses soigneusement justifi´ees seront prises en compte.
4. Un point pourra ˆetre attribu´e en plus ou en moins suivant la qualit´e de la r´edaction et de la pr´esentation.
5. Les notes de cours, les calculatrices ainsi que tous autres documents ou dispositifs ´electroniques sont interdits.
Exercice 1.Dans chacune des deux situations donn´ees plus bas, comment placer 20 boules dont 10 sont noires et 10 sont blanches dans deux urnes de mani`ere `a maximiser la probabilit´e de tirer une boule blanche dans l’exp´erience suivante :on choisit d’abord une urne au hasard, chaque urne ayant mˆeme probabilit´e d’ˆetre tir´ee puis on tire une boule dans l’urne choisie
1. Premi`ere situation : on est contraints `a placer 5 boules dans une urne et 15 dans l’autre ;
2. Deuxi`eme situation : on n’a pas de contrainte sur le nombre de boules `a placer dans chaque urne.
Exercice 2. Un joueur peut lancer deux fois de suite un simulateur de la loi uniforme sur [0,10] pour obtenir le meilleur score possible : si le score obtenu au premier lancer le satisfait il peut en rester l`a. Si ce score ne le satisfait pas, il peut lancer une deuxi`eme fois le simulateur mais le score obtenu au premier tirage est alors perdu. Le joueur d´ecide de la strat´egie suivante : il s’arrˆetera apr`es le premier tirage si il y obtient un r´esultat sup´erieur ou ´egal `a un seuilket il lancera une deuxi`eme simulation sinon. On suppose que les r´esultats des deux tirages sont ind´ependants. SoitXk le score obtenu en suivant cette strat´egie.
1. Donner la fonction de r´epartition deXk. 2. Calculer l’esp´erance de Xk.
3. Trouver la valeur dekqui maximise E[Xk].
4. Trouver la valeur dek qui maximiseP(Xk >6) et celle qui maximiseP(Xk >8). CalculerE[Xk] pour ces deux valeurs deket commenter.
On suppose `a pr´esent que le joueur peut lancer trois fois de suite un simulateur de la loi uniforme sur [0,10] pour obtenir le meilleur score possible : si le score obtenu au premier lancer le satisfait il peut en rester l`a. Si ce score ne le satisfait pas, il peut lancer une deuxi`eme fois le simulateur mais le score obtenu au premier tirage est alors perdu. Si le score obtenu au deuxi`eme lancer ne le satisfait toujours pas, il peut lancer une troisi`eme fois le simulateur mais dans ce cas le score obtenu au deuxi`eme tirage est lui aussi perdu. Le joueur d´ecide de la strat´egie suivante : il s’arrˆetera apr`es le premier tirage si il y obtient un r´esultat sup´erieur ou ´egal `a un seuilk1et il lancera une deuxi`eme simulation sinon. Il conservera le score du deuxi`eme tirage si celui-ci est sup´erieur ou ´egal `a un seuil k2 et il lancera une troisi`eme simulation sinon. On suppose que les r´esultats des trois tirages sont ind´ependants et que k1 ≥ k2. Soit Y(k1,k2) le score obtenu en suivant cette strat´egie.
5. Donner la fonction de r´epartition deY(k1,k2). 6. Calculer l’esp´erance de Y(k1,k2).
On rappelle qu’une variable al´eatoire U est de loi uniforme sur [0,10] si elle admet f(x) = 1011[0,10](x) comme densit´e.
