Universit´e Paris-Dauphine Ann´ee universitaire 2016-2017 Deuxi`eme ann´ee du DE MI2E Probabilit´es multidimensionnelles et th´eor`emes limite
1. Vous ˆetes vivement invit´e `a lire le sujet dans son int´egralit´e avant de commencer `a composer.
2. Si, au cours de l’´epreuve, vous rep´erez ce qui vous semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, vous le signalez sur la copie et poursuivez l’examen en expliquant les raisons des initiatives que vous ˆetes amen´e `a prendre.
3. Seules les r´eponses soigneusement justifi´ees seront prises en compte.
4. Un point pourra ˆetre attribu´e en plus ou en moins suivant la qualit´e de la r´edaction et de la pr´esentation.
5. Les notes de cours, les calculatrices ainsi que tous autres documents ou dispositifs ´electroniques sont interdits.
Exercice 1.Dans chacune des deux situations donn´ees plus bas, comment placer 20 boules dont 10 sont noires et 10 sont blanches dans deux urnes de mani`ere `a maximiser la probabilit´e de tirer une boule blanche dans l’exp´erience suivante :on choisit d’abord une urne au hasard, chaque urne ayant mˆeme probabilit´e d’ˆetre tir´ee puis on tire une boule dans l’urne choisie
1. Premi`ere situation : on est contraints `a placer 5 boules dans une urne et 15 dans l’autre ; On a 6 possibilit´es, selon que l’on place 0,1, . . . ,5 boules blanches dans l’urne qui contient 5 boules. On peut calculer la probabilit´e de tirer une boule blanche dans chacun de ces cas. Ce n’est pas un calcul difficile et c’est une fa¸con de proc´eder tout `a fait recevable. On peut aussi proc´eder de fa¸con plus syst´ematique.
On appelleAl’urne contenant 5 boules etBl’urne contenant 15 boules. Les ´ev´enementsA=“On choisit l’urne A” et B =“On choisit l’urneB” constituent un syst`eme complet puisqu’ils sont incompatibles et que la somme de leurs probabilit´es vaut 1. En notant x le nombre de boules blanches dans l’urne A,x∈ {0, . . . ,5}, il d´ecoule de la formule des probabilit´es totales que
P(blanche) = P(blanche|A)P(A) +P(blanche |B)P(B)
= x
5 1
2 +10−x 15
1 2
= 1
2
10 + 2x 15
qui est une fonction croissante dexet qui, par cons´equent, atteint son maximum sur{0, . . . ,5}
en x= 5. La meilleure strat´egie consiste donc `a ne placer que des boules blanches dans l’urne contenant 5 boules et aboutit `a une probabilit´e de tirer une boule blanche de 23.
2. Deuxi`eme situation : on n’a pas de contrainte sur le nombre de boules `a placer dans chaque urne.
Ici les diff´erentes possibilit´es sont param´etr´ees par le nombre de boules dans l’urne qui en contient le moins et le nombre de boules blanches dans l’urne qui contient le moins de boules. `A nouveau on appelle A l’urne contenant le moins de boules et B l’autre urne. On note L le nombre de boules dans A,L ∈ {0, . . . ,10}. Encore une fois les ´ev´enements A=“On choisit l’urneA” et B=“On choisit l’urneB” constituent un syst`eme complet puisqu’ils sont incompatibles et que la somme de leurs probabilit´es vaut 1.
Il apparaˆıt tout de suite que si L = 0 alorsP(blanche|A) = 0 et P(blanche|B) = 12 donc, d’apr`es la formule des probabilit´es totales,
P(blanche) =P(blanche|A)P(A) +P(blanche|B)P(B) =1 4 <2
3.
La strat´egie consistant `a ne placer que 5 boules blanches dans Aet aucun boule noire est donc meilleure que la strat´egie consistant `a prendre L= 0et on peut d´ej`a ´ecarter ce cas.
En notantxle nombre de boules blanches dans l’urneA,x∈ {0, . . . , L}, il d´ecoule de la formule
1
des probabilit´es totales que
P(blanche) = P(blanche|A)P(A) +P(blanche |B)P(B)
= x
L 1
2+ 10−x 20−L 1 2
= 1
2
10L−2Lx+ 20x L(20−L)
= (10−L)x+ 5L L(20−L) .
On observe que si L= 10cette probabilit´e est ind´ependante dexet vaut 12 < 23, on peut donc exclure la cas L= 10.
A pr´` esent, quelle que soit la valeur deL∈ {1, . . . ,9}, on observe que la probabilit´e ci-dessus est maximale quand x=L puisque c’est une fonction croissante de x: le probl`eme est r´eduit `a d´eterminer la valeur deL∈ {1, . . . ,9}qui maximise
L7→ (10−L)L+ 5L
L(20−L) = 15−L 20−L.
En ´etudiant la fonction d´efinie sur[1,9]paru7→ 15−u20−u on obtient que la valeur de{1, . . . ,9}qui maximise L7→ 15−L20−L estL= 1. La meilleur strat´egie consiste donc en placer une boule blanche dans une urne et les 19 autres boules dans l’autre urne et aboutit `a une probabilit´e de 1419 de tirer une boule blanche.
Exercice 2. Un joueur peut lancer deux fois de suite un simulateur de la loi uniforme sur [0,10] pour obtenir le meilleur score possible : si le score obtenu au premier lancer le satisfait il peut en rester l`a. Si ce score ne le satisfait pas, il peut lancer une deuxi`eme fois le simulateur mais le score obtenu au premier tirage est alors perdu. Le joueur d´ecide de la strat´egie suivante : il s’arrˆetera apr`es le premier tirage si il y obtient un r´esultat sup´erieur ou ´egal `a un seuilket il lancera une deuxi`eme simulation sinon. On suppose que les r´esultats des deux tirages sont ind´ependants. SoitXk le score obtenu en suivant cette strat´egie.
1. Donner la fonction de r´epartition deXk.
Clairement si k = 0 ou k = 10 alors Xk est de loi uniforme sur [0,10] puisque si k = 0 on conserve toujours le r´esultat du premier tirage et sik= 10alors on ne conserve jamais le r´esultat du premier tirage et l’exp´erience se r´eduit `a un seul tirage, le second. On suppose donc que k /∈ {0,10} et on note R1 le r´esultat du premier tirage et R2 le r´esultat du deuxi`eme tirage.
Clairement A= {R1 < k} et B = {R1 ≥ k} constituent un syst`eme complet d’´ev´enements.
Pour tout x∈[0,10]on a
P(Xk≤x) = P(Xk≤x|R1< k)P(R1< k) +P(Xk ≤x|R1≥k)P(R1≥k)
= P(R2≤x|R1< k)P(R1< k) +P(R1≤x|R1≥k)P(R1≥k)
= P(R2≤x)P(R1< k) +P(k≤R1≤x)
la premi`ere ´egalit´e provient du fait que d’apr`es la d´efinition de l’exp´erience ´etudi´ee si R1 < k alors Xk =R2 et si R1 ≥kalors Xk =R1 et la deuxi`eme ´egalit´e d´ecoule du fait que, d’une part, R1 etR2 sont ind´ependantes et d’autre part que
P(R1≤x|R1≥k) =P({R1≤x} ∩ {k≤R1})
P(R1≥k) =P(k≤R1≤x) P(R1≥k) . Donc
P(Xk ≤x) =
0 si x≤0
x 10
k
10 si x∈[0, k]
x 10
k
10+x−k10 si x∈[k,10]
1 si x >10
puisque pour toute variable al´eatoireU de loi uniforme sur[0,10]on a
P(U ≤u) =
0 si u≤0
u
10 si x∈[0,10]
1 si u >10.
On remarque que la fonction de r´epartition trouv´ee est aussi valable pourk∈ {0,10}.
2
2. Calculer l’esp´erance de Xk.
La fonction de r´epartition deXk est continue et d´erivable sauf en trois points. En la d´erivant l`a o`u elle est d´erivable on trouve une densit´efk de Xk :
fk(x) = k
1001[0,k](x) + k
100 + 1 10
1[k,10](x).
d’o`u
E[Xk] = Z 10
0
xfk(x)dx
= k
100 Z k
0
xdx+ k
100 + 1 10
Z 10 k
xdx
= k3 200+
k 100 + 1
10 50−k2 2
.
3. Trouver la valeur dekqui maximise E[Xk].
Il suffit d’´etudier la fonction polynomiale
P(x) = x3 200 +
x 100+ 1
10 50−x2 2
sur[0,10]. On a
P0(x) = 3x2 200+ 1
100
50−x2 2
− x
100+ 1 10
x
= 1
2 − x 10
et P00(x) =−101 doncP est maximale pour x= 5. Donc c’est k= 5 qui maximiseE[Xk] et E[X5] = 6,25.
4. Trouver la valeur dek qui maximiseP(Xk >6) et celle qui maximiseP(Xk >8). CalculerE[Xk] pour ces deux valeurs deket commenter.
De la fonction de r´epartition deXk on d´eduit que pour toutx∈[0,10]on a
P(Xk> x) =
1− 10x 10k +x−k10
= 1 +k 101 −100x
−10x si 0≤k≤x
1−10x 10k si x≤k≤10
donc k 7→ P(Xk > x) est croissante sur [0, x] et d´ecroissante sur [x,10]. Donc pour tout x ∈ [0,10] la valeur de k qui maximise P(Xk > x) est x. Par cons´equent P(Xk > 6) est maximis´ee pourk= 6tandis queP(Xk >8)est maximis´ee pourk= 8. On constate cependant queE[X6] = 6,2 et queE[X8] = 5,8.
Commentaire : pour maximiser la probabilit´e d’obtenir un score final ´elev´e, par exemple plus grand que 8, on doit prendre une valeur de k´elev´ee, dans notre exemplek= 8. Mais alors on a une probabilit´e ´egale `a k/10 de ne pas conserver le r´esultat du premier tirage et parmi les r´esultats que l’on est conduits `aabandonner il y a debons r´esultats, par exemple des r´esultats sup´erieurs `a la moyenne optimale. Comparons les densit´es deX6 etX8:
x fk
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
k= 6 k= 8
3
On constate que si E[X6] >E[X8] c’est parce que P(X6 ∈[6,8]) est plus forte queP(X8 ∈ [6,8])et il en est ainsi parce que la strat´egiek= 6conduit `a conserver les r´esultats du premier tirage compris entre 6 et 8 tandis que la strat´egiek= 8conduit `a abandonner ces r´esultats. Une question int´eressante : sachant, par exemple, que X8≥8, quelle est la probabilit´e queX8 soit le r´esultat du premier tirage ?
On suppose `a pr´esent que le joueur peut lancer trois fois de suite un simulateur de la loi uniforme sur [0,10] pour obtenir le meilleur score possible : si le score obtenu au premier lancer le satisfait il peut en rester l`a. Si ce score ne le satisfait pas, il peut lancer une deuxi`eme fois le simulateur mais le score obtenu au premier tirage est alors perdu. Si le score obtenu au deuxi`eme lancer ne le satisfait toujours pas, il peut lancer une troisi`eme fois le simulateur mais dans ce cas le score obtenu au deuxi`eme tirage est lui aussi perdu. Le joueur d´ecide de la strat´egie suivante : il s’arrˆetera apr`es le premier tirage si il y obtient un r´esultat sup´erieur ou ´egal `a un seuilk1et il lancera une deuxi`eme simulation sinon. Il conservera le score du deuxi`eme tirage si celui-ci est sup´erieur ou ´egal `a un seuil k2 et il lancera une troisi`eme simulation sinon. On suppose que les r´esultats des trois tirages sont ind´ependants et que k1 ≥ k2. Soit Y(k1,k2) le score obtenu en suivant cette strat´egie.
5. Donner la fonction de r´epartition deY(k1,k2).
On noteR1 le r´esultat du premier tirage, R2 le r´esultat du deuxi`eme tirage etR3le r´esultat du troisi`eme tirage. Sik1= 0alors clairementY(k1,k2)est de loi uniforme sur [0,10]puisqu’on ne fait qu’un tirage Y(k1,k2) =R1. Si k1 = 10 et k2 = 10 alorsY(k1,k2) =R3 et si k1 = 10 et k2 = 0alorsY(k1,k2) =R2. On peut consid´erer `a pr´esent quek1 et k2 sont distinctes de 0 ou 10. On consid`ere le syst`eme complet{R1≥k1},{R1< k1, R2≥k2}et{R1< k1, R2< k2}et d’apr`es la formule des probabilit´es totales pour touty∈[0,10]on a
P(Y(k1,k2)≤y) = P(Y(k1,k2)≤y|R1≥k1)P(R1≥k1) +
+P(Y(k1,k2)≤y|R1< k1, R2≥k2)P(R1< k1, R2≥k2) + +P(Y(k1,k2)≤y|R1< k1, R2< k2)P(R1< k1, R2< k2)
= P(R1≤y|R1≥k1)P(R1≥k1) +
+P(R2≤y|R1< k1, R2≥k2)P(R1< k1, R2≥k2) + +P(R3≤y|R1< k1, R2< k2)P(R1< k1, R2< k2)
= P(k1≤R1≤y) +P(R1< k1, k2≤R2≤y) +P(R3≤y)P(R1< k1, R2< k2) donc
P(Y(k1,k2)≤y) =
0 si y≤0
yk1k2
1000 si y∈[0, k2]
k1(y−k2)
100 +yk10001k2 si y∈[k2, k1]
y−k1
10 +k1(y−k100 2)+yk10001k2 si y∈[k1,10]
1 si y >10.
6. Calculer l’esp´erance de Y(k1,k2).
La fonction de r´epartition de Y(k1,k2) est continue et d´erivable sauf en quatre points. En la d´erivant l`a o`u elle est d´erivable on trouve une densit´eg(k1,k2) deY(k1,k2):
g(k1,k2)(y) = k1k2
10001[0,k2](y) + k1k2
1000+ k1
100
1[k2,k1](y) + 1
10+k2k1
1000+ k1
100
1[k1,10](y)
d’o`uE[Y(k1,k2)] = k120k2 +100k1
50−k222 +101
50−k221 .
On rappelle qu’une variable al´eatoire U est de loi uniforme sur [0,10] si elle admet f(x) = 1011[0,10](x) comme densit´e.
