A l’issue de ce premier tirage, si l’on obtient la boule numéro jalors le second tirage s’effectue dans l’urneUj

Problème : Matrices et probabilités

Soitn un entier naturel. On dispose den+ 1urnes : U₀, . . . ,U_n. Pour j∈[[0, n]], l’urneU_j contientj+ 1boules numérotées de 0à j.

On effectue une succession de tirage d’une boule avec remise selon le protocole suivant :

— Au premier tirage, on tire une boule dans l’urne U_n avec remise.

— A l’issue de ce premier tirage, si l’on obtient la boule numéro jalors le second tirage s’effectue dans l’urneU_j.

— On continue alors les tirages selon la même règle : pour tout entier naturelknon nul, on tire une boule avec remise lors duk-ième tirage et on notej le numéro de la boule tirée. Le(k+ 1)-ième tirage s’effectue alors avec remise dans l’urne U_j.

Pour tout entier naturelknon nul, on noteX_kla variable aléatoire égale au numéro tiré lors duk-ième tirage.

Le premier tirage ayant lieu dans l’urne U_n, on pose X0 =n.

L’expérience est modélisée par un espace probabilisé (Ω,P(Ω),P).

Pour tout entier naturel k, on considère la matrice W_k ∈ M_n+1,1(R) et la matrice A ∈ M_n+1(R) définies par

W_k=











P(X_k = 0) P(X_k = 1)

... P(Xk =n)











etA=

















1 ¹₂ ¹₃ . . . _n+1¹ 0 ¹₂ ¹₃ . . . _n+1¹ ... 0 ¹₃ . .. ... ... ... . .. ... ¹

n+1

0 0 . . . 0 _n+1¹















 .

1. (a) Pour toutj∈[[0, n]], écrireP(X_k+1=j) en fonction de certainP(X_k =i)où i∈[[0, n]].

(b) En déduire que W_k+1 =AW_k.

2. (a) Écrire une matrice ligne B ∈ M_1,n+1(R)vérifiant BW_k=E(X_k).

(b) CalculerBAen fonction de B.

(c) Exprimer, pour tout entier naturelk,E(X_k+1) en fonction deE(X_k).

(d) En déduire E(X_k)en fonction de ketn.

3. (a) Écrire une matrice ligne C∈ M_1,n+1(R) vérifiant CW_k=E(X_k²).

(b) CalculerCA en fonction deC etB.

(c) Exprimer, pour tout entier naturelk,E(X_k+1² ) en fonction deE(X_k²) et de E(X_k).

4. Pour tout entier naturelk, on pose u_k=E(X_k²)−₂ⁿ_k. (a) Montrer que la suite (u_k) est géométrique.

(b) En déduire E(X_k²) en fonction dek etn.

(c) CalculerV(Xk)en fonction de ket de n.

On note Rn[x] le R-espace vectoriel des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à n. On rappelle que la base canonique B = (e₀, . . . , e_n) de cet espace est donnée par, pour 06j6n,e_j :x7→x^j.

Soitf l’application qui, à une fonction polynomiale P deRn[x], associe la fonction définie par

∀x∈R, f(P)(x) = ₁

x−1 ·R_x

1 P(t) dt six6= 1, P(1) six= 1.

5. (a) Montrer que f est une application linéaire.

(b) Montrer que f est un endomorphisme deRn[x]et écrire sa matrice dans la baseB.

1

6. Pourj ∈[[0, n]], on définit la fonction polynomialeqj parqj :x7→(x−1)^j. (a) Montrer que B⁰ = (q0, . . . , qn) est une base deRn[x].

(b) Donner la matrice B de f dans la base B⁰.

(c) Donner la matrice P de passage deB à B⁰ puis calculer P⁻¹. (d) Écrire, pour tout entier naturel k, la dernière colonne de A^k.

7. (a) Montrer que, pour tout entier naturel k, la loi deXk est donnée par

Xk(Ω) = [[0, n]] et∀i∈[[0, n]], P(Xk =i) = n

i

×

n−i

X

j=0

(−1)^j n−i

j

1 1 +i+j

k

.

(b) Pour i∈[[0, n]], déterminer lim

k→∞ P(X_k=i). Interpréter l’issue asymptotique des tirages.

* * * FIN DU SUJET * * *

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