Notons x le nombre de boules bleues, y celui des boules rouges et z celui des boules vertes.
Notons également B l’évènement : « tirer une boule bleue », R : « tirer une boule rouge » et V : « tirer une boule verte » Dressons un arbre des probabilités pour le premier tirage sans remise :
La probabilité d’obtenir deux boules de la même couleur est donc : 𝑃(2𝐵 𝑜𝑢 2𝑅) = 𝑃(2𝐵) + 𝑃(2𝑅) = 𝑥
𝑥 + 𝑦× 𝑥 − 1
𝑥 + 𝑦 − 1+ 𝑦
𝑥 + 𝑦× 𝑦 − 1
𝑥 + 𝑦 − 1=𝑥(𝑥 − 1) + 𝑦(𝑦 − 1) (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦 − 1) Et d’après l’énoncé, on a :
𝑥(𝑥 − 1) + 𝑦(𝑦 − 1) (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦 − 1) =1
2 Travaillons un peu cette égalité…
𝑥(𝑥 − 1) + 𝑦(𝑦 − 1) (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦 − 1) =1
2
⇔
2[𝑥(𝑥 − 1) + 𝑦(𝑦 − 1)] = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦 − 1)
⇔
2[𝑥2+ 𝑦2− (𝑥 + 𝑦)] = (𝑥 + 𝑦)2− (𝑥 + 𝑦)
⇔
2𝑥2+ 2𝑦2− (𝑥 + 𝑦)2= 2(𝑥 + 𝑦) − (𝑥 + 𝑦)
⇔
𝑥2+ 𝑦2− 2𝑥𝑦 = 𝑥 + 𝑦
⇔
(𝑥 − 𝑦)2= 𝑥 + 𝑦 (𝟏)
Finalement, nous recherchons 2 nombres entiers dont le carré de la différence des termes est égal à la somme de ces termes.
Le deuxième tirage est identique au premier avec des boules vertes, donc on obtient la même égalité : (𝑥 − 𝑧)2= 𝑥 + 𝑧 (𝟐)
A ce stade, compte tenu de la similarité des égalité (1) et (2) , deux hypothèses sont possibles soit : 𝑦 = 𝑧 soit 𝑦 ≠ 𝑧
Etudions le cas où y = z
Autrement dit le cas où il y a autant de boules rouges que vertes.
Intéressons-nous maintenant au 3ème tirage … et formons un arbre des probabilités.
La probabilité d’obtenir deux boules de la même couleur est donc :
𝑃(2𝐵 𝑜𝑢 2𝑅 𝑜𝑢 2𝑉) =𝑥(𝑥 − 1) + 𝑦(𝑦 − 1) + 𝑧(𝑧 − 1) (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1) Cette probabilité est égale à 11/32 donc :
𝑥(𝑥 − 1) + 𝑦(𝑦 − 1) + 𝑧(𝑧 − 1) (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1) =11
32 Avec
𝒚 = 𝒛 cela donne(en remplaçant z par y) :
𝑥(𝑥 − 1) + 2𝑦(𝑦 − 1) (𝑥 + 2𝑦)(𝑥 + 2𝑦 − 1)=11
32 Ou encore :
32[𝑥(𝑥 − 1) + 2𝑦(𝑦 − 1)] = 11(𝑥 + 2𝑦)(𝑥 + 2𝑦 − 1) En développant et en réduisant (je passe les détails des calculs) on obtient :
21𝑥2− 21𝑥 + 20𝑦2− 42𝑦 = 44𝑥𝑦 (3) Mais ne perdons pas de vue que x et y doivent vérifier :
(𝑥 − 𝑦)2= 𝑥 + 𝑦 Et par conséquent que :
2𝑥𝑦 = 𝑥2+ 𝑦2− 𝑥 − 𝑦 En substituant 2𝑥𝑦 dans (3) cela donne :
𝑥 − 𝑥2= 2𝑦2+ 20𝑦
Or 2𝑦2+ 20𝑦 > 0 Mais les seules valeurs positives pour 𝑥 − 𝑥2 sont pour celles appartenant à ]0 ;1[
Par conséquent aucune valeur entière de boules bleues ne peut convenir si les boules rouges et vertes sont en même nombres.
Ainsi 𝒚 ≠ 𝒛
Maintenant, il s’agit de trouver les couples (𝒙; 𝒚) vérifiant : (𝑥 − 𝑦)2= 𝑥 + 𝑦
Un peu de programmation fera l’affaire, avec une recherche sur les 100 premiers entiers ( on peut raisonnablement estimer qu’il y a moins de 100 boules de chaque couleur dans l’urne !)
Voici les couples engendrés :
Il s’agit maintenant de constituer les triplets (𝑥; 𝑦; 𝑧) avec (𝑥; 𝑦)𝑒𝑡 (𝑥; 𝑧) appartenant aux couples engendrés dans le programme et avec 𝑦 ≠ 𝑧
Avec le code suivant :
Nous obtenons les triplets suivants :
Il s’agit enfin d’évaluer la probabilité égale à 11/32 = 0,34375 du troisième tirage pour chaque triplet.
Q1 : Il y a donc 21 boules bleues ! Q2 :
Répondons maintenant à Q2 ; « S’il n-y-a que des boules rouges et vertes, quelle est la proba de tirer deux boules de la même couleur ? »
On ne peut pas savoir le nombre de boules rouges et vertes, soit c’est : (𝑦; 𝑧) = (28; 15) ou (𝑦; 𝑧) = (15; 28) Mais dans les deux cas, la probabilité de tirer deux boules de la même couleur est la même, à savoir :
𝑃(2𝑅 𝑜𝑢 2𝑉) =28 43×27
42+15 43×14
42=23 43 Soit :