E539 – Des boules aux couleurs belges Solution proposée par Christian Pont
Les manipulations proposées permettent de transformer un triplet (N, J, R) en un triplet : 1) si on tire deux noires en (N-2, J+1, R)
2) si on tire deux rouges en (N, J+1, R-2) 3) si on tire deux jaunes en (N+1, J-2, R+1)
4) si on tire une jaune et une noire en (N-1, J-1, R+1) 5) si on tire une jaune et une rouge en (N+1, J-1, R-1) et 6) sans changement pour une noire et une rouge.
Quatre manipulations (1, 2, 4 et 5) font décroître le nombre total de boules de un, tandis que les deux autres (4 et 6) le conservent. Hormis le cas où se répète sans fin l'extraction d'un couple rouge-noir, il n'est pas possible de pouvoir conserver le nombre total de boules. Dès que le nombre de boules jaunes tombe en dessous de deux, il est obligatoire d'enchaîner par un des cas réduisant de un ce nombre total (hormis la répétition du cas inutile rouge-noir) : le nombre total de boules décroit inexorablement.
Si l'on s'intéresse à la somme des boules noires et rouges, cette somme passe, respectivement suivant les manipulations 1 à 6, de N+R à N+R-2, N+R-2, N+R+2, N+R, N+R et N+R. Dans tous les cas, la parité de N+R est conservée.
Comme au départ, il y a 2010 noires et 0 rouges, au final, il y aura toujours un nombre total pair de rouges et noires.
Avec 3 boules, les configurations possibles sont 0+0+3 ou 0+1+2 ou 1+1+1. Avec un nombre de rouges+noires pair, cela n'est possible que si le triplet (N, J, R) se trouve parmi : (0,3,0), (0,1,2) ou (2,1,0), (1,1,1). Dans tous les cas, il y a donc toujours au moins une boule jaune..
Il est possible de terminer avec une seule boule au final : (0,3,0) conduit à (1,1,1) par 3 lequel, hormis 6 qui ne sert à rien, conduit à (2,0,0) par 5 ou à (0,0,2) par 4, lesquels aboutissent à (0,1,0) par 1 ou 2.
Les triplets (0,1,2) ou (2,1,0) aboutissent soit directement par 5 ou 4 à (1,0,1), soit
indirectement par 1 ou 2 à (0,2,0) lequel arrive par 3 au même résultat (1,0,1),, qui se répétera indéfiniment.
