Enonc´e noG148 (Diophante) Myst`eres autour d’une urne
Je dispose d’une urne qui contient 2011 boules bleues et rouges mais sa composition est pour moi un myst`ere. Toutes les configurations de x boules bleues et 2011 −x boules rouges avec 0 ≤ x ≤ 2011 sont donc
´
equiprobables, ce qui revient `a ´ecrire :
Pr{x boules bleues et 2011−xboules rouges dans l’urne }= 1 pour 0≤x≤2011. 2012
Dans un premier tirage sans remise, je pr´el`eve un certain nombre k de boules. Elles sont toutes de couleur rouge. Je calcule qu’avec cette valeur k j’avais une chance sur sept de r´ealiser un tel tirage. En d´eduirek.
Apr`es ce premier tirage, l’urne contient 2011−k boules. J’effectue un deuxi`eme tirage sans remise de k boules.Calculer la probabilit´e qu’elles soient toutes de couleur bleue.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Si l’urne contientxboules bleues, on tire k boules rouges en tirant parmi lesC2011k combinaisons dekboules une desC2011−xk combinaisons de boules rouges ; probabilit´e C2011−xk /C2011k .
Les 2012 valeurs de x ayant la mˆeme probabilit´e a priori, la probabilit´e totale de tirerk boules rouges est
1 2012
2011
X
x=0
C2011−xk C2011k = 1
2012 C2012k+1 C2011k = 1
k+ 1 Pour que ce soit une chance sur sept,k= 6.
Par le th´eor`eme de Bayes on en tire la probabilit´e conditionnelle d’une valeur dex sachant qu’on a tir´e 6 boules rouges. La probabilit´e conjointe de x et de tirer 6 boules rouges est 1
2012
C2011−x6
C20116 . La probabilit´e de x sachant qu’on a tir´e 6 boules rouges est 7
2012
C2011−x6
C20116 = C2011−x6 C20127 .
L’urne contient maintenant x boules bleues et 2005−x boules rouges.
La probabilit´e de tirer 6 boules bleues `a x donn´e est Cx6/C20056 . Il faut la pond´erer, pour les valeurs de x compatibles avec le premier tirage (de 0 `a 2005), par la probabilit´e conditionnelle de x. On obtient ainsi
2005
X
x=0
C2011−x6 Cx6 C20127 C20056
Pour sommerC2011−x6 Cx6, j’observe queCx6 est le coefficient de zx−6 dans le d´eveloppement de (1−z)−7; de mˆeme, C2011−x6 est le coefficient de z2005−x dans le d´eveloppement de (1−z)−7. Ainsi la somme cherch´ee est le coefficient dez1999 dans le d´eveloppement de (1−z)−14, soitC201213 . Finalement la probabilit´e de 6 boules bleues est C201213
C20127 C20056 = 1
C136 = 1 1716 Remarque. Cette probabilit´e, de mˆeme que le r´esultat k = 6, ne d´epend aucunement de la donn´ee 2011, qui pourrait ˆetre remplac´ee par tout autre entier ≥12.
1
