On met une étiquette bleue à tout un entier b > 0 s’il n’existe aucun entier a < b tel que b est égal à a + la somme des chiffres de a. Par exemple 7 a une étiquette bleue à l’inverse de 28 qui s’écrit 23 + 2 + 3 = 28.
On met une étiquette rouge à tout un entier r > 0 s’il existe au moins un entier q > r tel que r est égal à q – la somme des chiffres de q. Par exemple 18 a une étiquette rouge car 18 = 21 – 1 – 2 à l’inverse de 15.
On ajoute une étiquette violette à tout entier qui a les deux étiquettes bleue et rouge.
Q₁ Démontrer que 2015 n’a pas d’étiquette. Déterminer le plus petit entier > 2015 qui a une étiquette bleue puis le plus petit entier > 2015 qui a une étiquette rouge. [*]
Q₂ Déterminer le plus petit entier qui a une étiquette violette. [**]
Q₃ Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers ayant une étiquette bleue. [***]
Q₄ Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers ayant une étiquette rouge. [**]
Q₅ Donner la caractéristique commune à tous les entiers ayant l’étiquette violette. [**]
Q₆ Démontrer que l’ensemble des entiers de 1 à 2015 contient le même nombre d’étiquettes bleues et d’étiquettes rouges et dénombrer les étiquettes violettes de cet ensemble.[***]
Soit n=∑10i c1 avec 0≤ci≤9, et s(n)=∑ci la somme de ses chiffres. Les nombres
n’ayant pas d’étiquette bleue sont donc de la forme ∑(1+10i)ci , ce qui commence par les nombres pairs de 2 à 18, les impairs de 11 à 29, les pairs de 22 à 40, etc... Les premiers nombres avec des étiquettes bleues sont donc 1,3, 5, 7, 9, 20, 31, ..., 108, 110, 121,...
Les nombres ayant un étiquette rouge sont de la forme ∑(10i-1)ci ; ils sont tous divisibles par 9 et commencent par 9, 18, ..., 81, 99, 108, ..., 180, 198,... Chacun est généré par le suivant.
Q1 : 2015 n’a pas d’étiquette bleue (2011+4, ni 2016=2007+9, ni 2017=2012+5, ni 2018=2008+10... jusqu’à 2022 qui a une étiquette bleue. Non divisible par 9, 2015 n’a pas d’étiquette rouge ; mais 2016=2020-4 a une étiquette rouge.
Q2 : Nous avons vu plus haut que 9 a à la fois une étiquette bleue et une étiquette rouge, donc une étiquette violette.
Q3 : Il y a au plus 10k+1 -1 nombres n’ayant pas d’étiquette bleue, inférieurs ou égaux à N(k)=∑9(1+10i)=9k+(10k+1-1) (i varie de 0 à k). Il y a donc au moins 9k nombres ayant une étiquette bleue inférieurs à N(k), donc 9 entre N(k) et N(k+1) ; il y a donc une infinité de nombres avec une étiquette bleue.
Q4 : Par exemple, les nombres de la forme (10k+1-1)/9-k ont tous une étiquette rouge.
Q6 : il y a 5 étiquettes bleues inférieures à 10 puis 9 de 21 à 108 (écart 11 entre
chaque) 10 de 110 à 209, ...10 de 817 à 916 et 9 de 918 à 1006, soit 98 de 21 à 1006.
Il y en a encore 98 de 1021 à 2007, dernière étiquette bleue avant 2015 ; soit 201 en tout.
Parmi les nombres divisibles par 9, 90, 189, 288, 387, 486, 585, 684, 783, 892, 981, 990, 1089, 1188, 1287, 1386, 1485, 1584, 1683, 1782, 1881, 1980 et 1989 n’ont pas d’étiquette rouge, soit 223-22=201 étiquettes rouges.
Il y a 20 étiquettes violettes : 9, 108, 198, 378, 468, 558, 648, 738, 828, 918, 1098, 1278, 1368, 1458, 1548, 1638, 1728, 1818, 1917 et 2007.
