A356. Les bleues,les rouges et les violettes

A356. Les bleues,les rouges et les violettes

On met une étiquette bleue à tout entier b > 0 s’il n’existe aucun entier a < b tel que b est égal à a + la somme des chiffres de a. Par exemple 7 a une étiquette bleue à l’inverse de 28 qui s’écrit 23 + 2 + 3 = 28.

On met une étiquette rouge à tout entier r > 0 s’il existe au moins un entier q > r tel que r est égal à q – la somme des chiffres de q. Par exemple 18 a une étiquette rouge car 18 = 21 – 1 – 2 ,à l’inverse de 15.

On ajoute une étiquette violette à tout entier qui a les deux étiquettes bleue et rouge.

Q₁ Démontrer que 2015 n’a pas d’étiquette. Déterminer le plus petit entier > 2015 qui a une étiquette bleue puis le plus petit entier > 2015 qui a une étiquette rouge. [*]

Q₂ Déterminer le plus petit entier qui a une étiquette violette. [**]

Q₃ Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers ayant une étiquette bleue. [***]

Q₄ Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers ayant une étiquette rouge. [**]

Q₅ Donner la caractéristique commune à tous les entiers ayant l’étiquette violette. [**]

Q6 Démontrer que l’ensemble des entiers de 1 à 2015 contient le même nombre d’étiquettes bleues et d’étiquettes rouges et dénombrer les étiquettes violettes de cet ensemble.[***]

Soit Sx la fonction « somme des chiffres de x »

Remarque 1 : Sx1– Sx=1 ou Sx1– Sx0 Exemple : S78– S77=1

S20– S19=−8

Cela implique que f x=x – Sx est croissante et tend vers l'infini ( f 10f 100f 1000... ) Pour vérifier si un nombre a une étiquette bleue il suffit de tester tous les nombres qui lui sont inférieurs.

Pour vérifier si un nombre n a une étiquette rouge il suffit de tester les nombres qui lui sont supérieurs jusqu'au nombre m tel que m−Smn .

Dans les deux cas un nombre fini de tests est à envisager. Un automate fait donc l'affaire.

Q1 : 2015=2011S2011 donc pas d'étiquette bleue pour 2015 2016=2020– S20202015 donc pas d'étiquette rouge pour 2015

2022 est le plus petit entier > 2015 possédant une étiquette bleue 2016 est le plus petit entier > 2015 possédant une étiquette rouge

Q2 : 9 est le plus petit entier possédant une étiquette violette.

Q3 : Les nombres avec étiquette bleue sont les nombres « colombiens »

Sur le NET on trouve une formule qui permet de construire une infinité de ces nombres : C_k=8⋅10^k−1C_k−18 avec C₁=9

Q4 : comme x−Sx est croissante, on peut trouver pour n'importe quel M

une valeur de x telle que x−Sx=n > M . En faisant varier M , on obtient une infinité de n possédant une étiquette rouge

Q5 : Ce sont des multiples de 9, mais certains multiples de 9 n'ont pas d'étiquette rouge (90 n'a pas d'étiquette rouge)

Q6 : Il y a 201 nombres ont une étiquette bleue :

1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, 108, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 209, 211, 222, 233, 244, 255, 266, 277, 288, 299, 310, 312, 323, 334, 345, 356, 367, 378, 389, 400, 411, 413, 424, 435, 446, 457, 468, 479, 490, 501, 512, 514, 525, 536, 547, 558, 569, 580, 591, 602, 613, 615, 626, 637, 648, 659, 670, 681, 692, 703, 714, 716, 727, 738, 749, 760, 771, 782, 793, 804, 815, 817, 828, 839, 850, 861, 872, 883, 894, 905, 916, 918, 929, 940, 951, 962, 973, 984, 995, 1006, 1021, 1032, 1043, 1054, 1065, 1076, 1087, 1098, 1109, 1111, 1122, 1133, 1144, 1155, 1166, 1177, 1188, 1199, 1210, 1212, 1223, 1234, 1245, 1256, 1267, 1278, 1289, 1300, 1311, 1313, 1324, 1335, 1346, 1357, 1368, 1379, 1390, 1401, 1412, 1414, 1425, 1436, 1447, 1458, 1469, 1480, 1491, 1502, 1513, 1515, 1526, 1537, 1548, 1559, 1570, 1581, 1592, 1603, 1614, 1616, 1627, 1638, 1649, 1660, 1671, 1682, 1693, 1704, 1715, 1717, 1728, 1739, 1750, 1761, 1772, 1783, 1794, 1805, 1816, 1818, 1829, 1840, 1851, 1862, 1873, 1884, 1895, 1906, 1917, 1919, 1930, 1941, 1952, 1963, 1974, 1985, 1996, 2007

201 nombres ont une étiquette rouge :

9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 99, 108, 117, 126, 135, 144, 153, 162, 171, 180, 198, 207, 216, 225, 234, 243, 252, 261, 270, 279, 297, 306, 315, 324, 333, 342, 351, 360, 369, 378, 396, 405, 414, 423, 432, 441, 450, 459, 468, 477, 495, 504, 513, 522, 531, 540, 549, 558, 567, 576, 594, 603, 612, 621, 630, 639, 648, 657, 666, 675, 693, 702, 711, 720, 729, 738, 747, 756, 765, 774, 792, 801, 810, 819, 828, 837, 846, 855, 864, 873, 891, 900, 909, 918, 927, 936, 945, 954, 963, 972, 999, 1008, 1017, 1026, 1035, 1044, 1053, 1062, 1071, 1080, 1098, 1107, 1116, 1125, 1134, 1143, 1152, 1161, 1170, 1179, 1197, 1206, 1215, 1224, 1233, 1242, 1251, 1260, 1269, 1278, 1296, 1305, 1314, 1323, 1332, 1341, 1350, 1359, 1368, 1377, 1395, 1404, 1413, 1422, 1431, 1440, 1449, 1458, 1467, 1476, 1494, 1503, 1512, 1521, 1530, 1539, 1548, 1557, 1566, 1575, 1593, 1602, 1611, 1620, 1629, 1638, 1647, 1656, 1665, 1674, 1692, 1701, 1710, 1719, 1728, 1737, 1746, 1755, 1764, 1773, 1791, 1800, 1809, 1818, 1827, 1836, 1845, 1854, 1863, 1872, 1890, 1899, 1908, 1917, 1926, 1935, 1944, 1953, 1962, 1971, 1998, 2007

20 nombres ont une étiquette violette :

9, 108, 198, 378, 468, 558, 648, 738, 828, 918, 1098, 1278, 1368, 1458, 1548, 1638, 1728, 1818, 1917, 2007