A356 – Les bleues, les rouges et les violettes [* à *** à la main]
On met une étiquette bleue à tout un entier b > 0 s’il n’existe aucun entier a < b tel que b est égal à a + la somme des chiffres de a. Par exemple 7 a une étiquette bleue à l’inverse de 28 qui s’écrit 23 + 2 + 3 = 28.
On met une étiquette rouge à tout un entier r > 0 s’il existe au moins un entier q > r tel que r est égal à q – la somme des chiffres de q. Par exemple 18 a une étiquette rouge car 18 = 21 – 1 – 2 à l’inverse de 15.
On ajoute une étiquette violette à tout entier qui a les deux étiquettes bleue et rouge.
Q₁ Démontrer que 2015 n’a pas d’étiquette. Déterminer le plus petit entier > 2015 qui a une étiquette bleue puis le plus petit entier > 2015 qui a une étiquette rouge. [*]
Q₂ Déterminer le plus petit entier qui a une étiquette violette. [**]
Q₃ Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers ayant une étiquette bleue. [***]
Q₄ Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers ayant une étiquette rouge. [**]
Q₅ Donner la caractéristique commune à tous les entiers ayant l’étiquette violette. [**]
Q₆ Démontrer que l’ensemble des entiers de 1 à 2015 contient le même nombre d’étiquettes bleues et d’étiquettes rouges et dénombrer les étiquettes violettes de cet ensemble.[***]
Solution proposée par Daniel Collignon
Notons s(n) la somme des chiffres de n. Alors n = s(n) (mod 9), de sorte qu'un rouge est nécessairement un multiple de 9.
Q₁
2011 + 4 = 2015 n'est pas bleu
D'après la remarque précédente, 2015 n'étant pas un multiple de 9, il n'est pas rouge.2015 est donc sans étiquette.
Le plus petit entier > 2015 qui a une étiquette bleue est 2022.
En effet nous vérifions d'abord que : 2007 + 9 = 2016
2012 + 5 = 2017 2008 + 10 = 2018 2013 + 6 = 2019 2009 + 11 = 2020 2014 + 7 = 2021
Pour 2022, supposons qu'il existe une valeur x telle que x + s(x)=2022.
Alors 2022 – x = s(x )≤ 1+9+9+9 = 28, d'où x ≥ 1994.
Les deux cas se soldent par une impossibilité : 199u + s(199u) = 2022 => 2u = 13
20du + s(20du) = 2022 => 11d + 2u = 20 => u = –1 (mod 11)
Le plus petit entier > 2015 qui a une étiquette rouge est 2016 = 2020 – 4.
Q₂
Le plus petit entier violet est 9.C'est le plus petit rouge puisque 10 – 1 = 9.Il est également bleu puisque pour u < 9, u + s(u) = 2u ≠ 9.
Q3
La sous-suite bleue (A232229) définie par c₁ = 9 et la relation de récurrence ck = 8.10k-1 + ck-1
+ 8 pour k ≥ 2 convient (d'après http://mathworld.wolfram.com/SelfNumber.html ou toute
page sérieuse sur
le concept d'auto-nombre ou nombre colombien)
Au-delà, il semblerait qu'on se ramène systématiquement à une égalité du type 11d + 2u = 97
=> u = –1 (mod 11).
Q₄
La suite rouge 10n – 1 = (10n + 1) – 2 convient pour tout entier n ≥ 1.
Q₅
La suie violette commence par 9, 108, 198, 378, 468, 558, 648, 738, 828, 918, 1098, 1278, 1368, 1458, 1548, 1638, 1728, 1818, 1917, 2007
Les nombres violets se terminent tous à l'exclusion du premier = 9 par 7 ou par 8 mais cette propriété n’est valable que pour les petites valeurs de n.
Il faut simplement un peu de patience pour obtenir le dernier chiffre (cd) égal à 6 avec 19926, encore un peu plus de patience avec 199935 qui donne dc = 5 , puis avec 1999944 qui donne dc = 4
Une séquence "logique" d'entiers violets qui donne tous les dc de 0 à 9 serait la suivante, 9
108, 1917, 29 016, 390 015, 4 900 014, 59 000 013, 690 000 012, 7 900 000 011, 89 000 000 010, 990 000 000 009 Q₆
A l'aide de A003052, on dénombre 201 étiquettes bleues.
Pour les rouges, on remarque que (10d + u) – s(10d + u) = 10d – s(d) = rd. De plus Δ = rd+1 – rd = 10 + s(d) – s(d+1).
Si d ne se termine pas par 9, alors s(d+1) = s(d) + 1 et Δ = 9.
Sinon a minima s(d+1) ≤ s(d) - 8 (on transforme un 9 en 0 et on incrémente de 1 le chiffre suivant, sauf si lui même vaut 9... ; en fait s(d+1) = s(d) – 9k + 1 où d se termine par 9...(k)...9) et Δ≥ 18.
Bref la suite rd est strictement croissante et on peut mettre en bijection les rouges avec les multiples de 10.
Entre 1 et 2015, il y a 201 multiples de 10, donc 201 étiquettes rouges.
D'après Q₅, il y a alors 20 étiquettes violettes.
