A356. Les bleues,les rouges et les violettes
On met une étiquette bleue à tout entier b > 0 s’il n’existe aucun entier a < b tel que b est égal à a + la somme des chiffres de a. Par exemple 7 a une étiquette bleue à l’inverse de 28 qui s’écrit 23 + 2 + 3 = 28.
On met une étiquette rouge à tout entier r > 0 s’il existe au moins un entier q > r tel que r est égal à q – la somme des chiffres de q. Par exemple 18 a une étiquette rouge car 18 = 21 – 1 – 2 ,à l’inverse de 15.
On ajoute une étiquette violette à tout entier qui a les deux étiquettes bleue et rouge.
Q1 Démontrer que 2015 n’a pas d’étiquette. Déterminer le plus petit entier > 2015 qui a une étiquette bleue puis le plus petit entier > 2015 qui a une étiquette rouge. [*]
Q2 Déterminer le plus petit entier qui a une étiquette violette. [**]
Q3 Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers ayant une étiquette bleue. [***]
Q4 Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers ayant une étiquette rouge. [**]
Q5 Donner la caractéristique commune à tous les entiers ayant l’étiquette violette. [**]
Q6 Démontrer que l’ensemble des entiers de 1 à 2015 contient le même nombre d’étiquettes bleues et d’étiquettes rouges et dénombrer les étiquettes violettes de cet ensemble.[***]
Q1) 2015 n'a pas l' étiquette bleue car 2015 = 2011 + 2 +1+1.
Un nombre q diminué de la somme des chiffres est toujours multiple de 9, 2015 n'est pas multiple de 9 donc n'a pas l'étiquette rouge. 2015 n'a pas d'étiquette.
Si f désigne la fonction x→(x+sommechiffres(x)) on a
x 2007 2012 2008 2013 2009 2014
f(x) 2016 2017 2018 2019 2020 2021
Aucun nombre de [2016, 2021] n'a l'étiquette bleue.
28 est le maximum de la somme des chiffres d'un nombre inférieur à 2022 (pour 1999, 1+3*9 =28) S'il existe un x tel que f(x) = 2022, on a x > 2022 – 28 = 1994.
Pour x dans [1994, 1999], f(x) est impair.
Pour x dans [2000, 2009], f(x) < 2020.
Pour x dans [2010, 2019], f(x) est impair. Et pour x = 2020 ou 2021, f(x) > 2024 Il n'existe donc aucun x tel que f(x) = 2022 donc 2022 a une étiquette bleue.
Le plus petit entier > 2015 qui a une étiquette bleue est 2022 .
2016 a une étiquette rouge car 2016 = 2020-4=2021-5=2022-6= ….=2029-13 Le plus petit entier > 2015 qui a une étiquette rouge est 2016 .
Q2) Tous les nombres étiquetés rouge sont multiple de 9.
9 a bien l'étiquette rouge puisque 10 – 1 = 9.
Pour x < 9, f(x) est pair donc f(x) = 9 n'a pas de solution : 9 a aussi l'étiquette bleue.
Le plus petit entier qui a une étiquette violette est 9.
Q3) Un exemple de suite infinie de nombres ayant tous l'étiquette bleue :
9, 97, 905, 8913, 88921, 888929, ... où chaque terme est obtenu à partir du précédent en rajoutant un chiffre 8 à gauche, et en augmentant de huit unités le nombre ainsi obtenu.
Donc il existe une infinité d’entiers ayant une étiquette bleue.
Q4) Si r = 10n +8, et q = 10n + 12 on a bien q – sommechiffres(q) = r donc tous les entiers de la forme r = 10n +8 ont une étiquette rouge.et il existe une infinité d’entiers ayant une étiquette rouge.
Q5) Je n'ai pas trouvé la caractéristique commune à tous les entiers ayant l’étiquette violette.
Q6) Je trouve 201 étiquettes rouges : ce sont les 223 multiples de 9 inférieurs à 2015, sauf les 22 nombres suivants: 90, 189, 288, 387, 486, 585, 684, 783, 882, 981, 990, 1089, 1188, 1287, 1386, 1485, 1584, 1683, 1782, 1881, 1980, 1989.
et également 201 étiquettes bleues :
13 nombres inférieurs à 100 : 2, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, 13+10= 23 inférieurs à 200 etc.. comme résumé dans les tableaux suivants,
200 nombres bleus inférieurs à 2000 auquel on ajoute le nombre 2007 pour faire en tout 201 étiquettes bleues.
Infér à 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Nb de b 13 23 33 42 52 62 72 82 92 102
Infér à 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000
Nb de b 111 121 130 140 150 160 170 180 190 200
Etiquettes violettes :
9, 108, 198, 378, 468, 558, 648, 738, 828, 918, 1098, 1278, 1368, 1458, 1548, 1638, 1728, 1818, 1917, 2007 : en tout 20 nombres.
