E127– Pérégrinations en milieu hostile [**à la main]
Pour tout entier k ≥ 2 fixé à l'avance, on considère la suite S(k) strictement croissante d'entiers dont le premier terme est égal à 1, telle que si n appartient à S(k), l'entier m = k.n en est exclu. L'encyclopédie en ligne des suites d'entiers (O.E.I.S) donne les premiers termes de ces suites pour k = 2
(http://oeis.org/A003159) et pour k = 3 (http://oeis.org/A007417).
Tout entier n qui n'appartient pas à S(k) est appelé par convention "k-hostile".
Q₁ Déterminer le plus petit entier n₁ qui est en même temps k-hostile pour les cinq valeurs paires de k=2,4,6,8 et 10.
Q₂ Déterminer le plus petit entier n₂ qui est en même temps k-hostile pour les cinq valeurs impaires de k=3,5,7,9,11.
Q₃ Déterminer le plus petit entier n₃ qui est en même temps k-hostile pour toutes les valeurs de k = 2,3,...,11 Solution proposée par Bernard Vignes
Lemme: tout entier qui est k-hostile est divisible par k.
Il en résulte que tout entier qui est k-hostile pour différentes valeurs de k est un multiple du PPCM de ces valeurs.
Q₁ n₁ = 120. PPCM(2,4,6,8,10) = 120.
Q₂ n₂ = 10395. PPCM(3,5,7,9,11) = 3465. Les entiers 3465 et 6930 ne conviennent pas (3465 = 3*1155 = 3*3*385 n'est pas 3-hostile, 6930 = 3*2310 = 3*3*770 n'est pas 3-hostile) .
Q₃ n₃ = 83160. PPCM(2,3,...,11) = 27720. Les entiers 27720 et 55440 ne conviennent pas.
Sub macro20180620() Dim x(1100000, 11) For k = 2 To 11 For i = 1 To 100000
If x(i, k) = 0 Then x(k * i, k) = 1 Next i
Next k
For i = 1 To 100000
If x(i, 2) = 1 And x(i, 3) = 1 And x(i, 4) = 1 And x(i, 5) = 1 And x(i, 6) = 1 And x(i, 7) = 1 And x(i, 8) = 1 And x(i, 9) = 1 And x(i, 10) = 1 And x(i, 11) = 1 And k1 = 0 Then k1 = 1: ka = ka + 1: Range("A" &
ka).Value = i
If x(i, 2) = 1 And x(i, 4) = 1 And x(i, 6) = 1 And x(i, 8) = 1 And x(i, 10) = 1 And k2 = 0 Then k2 = 1: kb = kb + 1: Range("B" & kb).Value = i
If x(i, 3) = 1 And x(i, 5) = 1 And x(i, 7) = 1 And x(i, 9) = 1 And x(i, 11) = 1 And k3 = 0 Then k3 = 1: kc = kc + 1: Range("C" & kc).Value = i
Next i End Sub
