E127– Pérégrinations en milieu hostile [**à la main]
Pour tout entier k ≥ 2 fixé à l'avance, on considère la suite S(k) strictement croissante d'entiers dont le premier terme est égal à 1, telle que si n appartient à S(k), l'entier m = k.n en est exclu. L'encyclopédie en ligne des suites d'entiers (O.E.I.S) donne les premiers termes de ces suites pour k = 2
(http://oeis.org/A003159) et pour k = 3 (http://oeis.org/A007417).
Tout entier n qui n'appartient pas à S(k) est appelé par convention "k-hostile".
Q₁ Déterminer le plus petit entier n₁ qui est en même temps k-hostile pour les cinq valeurs paires de k=2,4,6,8 et 10.
Q₂ Déterminer le plus petit entier n₂ qui est en même temps k-hostile pour les cinq valeurs impaires de k=3,5,7,9,11.
Q₃ Déterminer le plus petit entier n₃ qui est en même temps k-hostile pour toutes les valeurs de k = 2,3,...,11 Solution proposée par Daniel Collignon
On montre l'équivalence n est k-hostile <=> n se termine par un nombre impair de 0 en base k Conséquence : le nombre recherché est un multiple du ppcm des k
Q1/ n1 = 120 (1*ppcm = 1*120) Q2/ n2 = 10 395 (3*ppcm = 3*3 465) Q3/ n3 = 83 160 (3*ppcm = 3*27 720)
