Enoncé D373 (Diophante) Un polygone dans un cube
Déterminer le plus grand entier n tel qu’un polygone régulier de n côtés peut être inscrit dans un cube (i.e. les sommets du polygone sont situés sur les arêtes ou sur les faces du cube).
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Considérant que les arêtes font partie des faces, quand celles-ci ne sont pas explicitement réduites à leur intérieur, j’ai étudié ce problème selon deux versions : les sommets du polygone sont situés sur les arêtes du cube (version 1) ; les sommets du polygone sont situés sur les faces du cube (version 2).
Version 1
Si le plan du polygone n’est pas le plan d’une face, aucune face ne contient 3 sommets. Chacune des 6 faces peut contenir 2 sommets, mais chaque sommet du polygone appartient à au moins deux faces (sur l’arête qu’elles ont en commun), ainsi le nombre de sommets ne peut dépasser 6.
La symétrie par rapport au centre du cube et la symétrie d’ordre 3 au- tour d’une grande diagonale entraînent que l’intersection du cube par le plan médiateur d’une grande diagonale est un hexagone régulier. Cette configuration donne donc n= 6.
Si le plan du polygone est le plan d’une face, chaque arête peut porter 2 sommets du polygone ; les symétries du carré permettent d’y inscrire un octogone régulier de même apothème. Ainsi on atteint n = 8 avec cette configuration.
Version 2
Si le plan du polygone est le plan d’une face, rien ne limite le nombre de sommets du polygone ; il n’y a pas de “plus grand entier” qui puisse être attribué à ce nombre. Ce cas ne semble donc pas correspondre à l’intention de l’auteur bien que l’énoncé ne l’exclue pas.
Si le plan du polygone n’est pas le plan d’une face, les sommets du polygone cherché appartiennent à l’une ou l’autre des intersections de ce plan avec les faces du cube. Chaque droite intersection ne peut porter que deux des sommets du polygone.
Pour obtenir un polygone régulier, il faut bénéficier d’une des symétries du cube. Si le plan du polygone est parallèle à une face, les intersections forment un carré et on y inscrit un octogone comme dans la version 1 de l’énoncé.
Le plus avantageux est de prendre le plan médiateur d’une grande dia- gonale. Les intersections forment alors un hexagone régulier, où on peut inscrire un dodécagone de même apothème. Ainsi on atteintn= 12 avec cette configuration.