D282. Le polygone à 2013 côtés
Montrer qu’il existe un polygone convexe de 2013 côtés qui satisfait les conditions suivantes:
Ses côtés ont pour longueurs les entiers naturels 1, 2, …, 2013, pas nécessairement pris dans cet ordre ;
Le polygone est inscrit dans un cercle.
Solution proposée par Claudio Baiocchi On va traiter un problème un peu plus général.
On se donne un entier et nombres réels positifs on cherche les conditions nécessaires et suffisantes pour l’existence d’un polygone dont les côtés ont comme mesure les valeurs dans l’ordre cyclique donné; de plus, on voudrait trouver un polygone inscriptible satisfaisant cette propriété.
Une première condition à imposer est l’ainsi dite inégalité triangulaire: le maximum des doit être strictement plus petit que la somme des autres. Un raisonnement inspiré du jeu Meccano montre que cette inégalité est nécessaire et suffisante pour l’existence d’un -gone dont la mesure des côtés satisfait la condition voulue; et on va montrer qu’alors, parmi ces polygones, il y en a un qui est inscriptible.
La famille de ces polygones n’étant pas vide, la généralisation à plusieurs dimensions d’un fameux théorème du à Weierstrass entraine l’existence d’un élément de la famille dont l’aire est maximum.
On conclut à l’aide d’un théorème moins connu, qui remonte à Huygens et Cramer, dont on peut trouver ici une démonstration: les éléments d’aire maximum sont inscriptibles.
Remarque finale Le rayon du cercle circonscrit est indépendant de l’ordre choisi pour les côtés.
Pour s’en convaincre il suffit de raisonner en termes de pizzas: à partir de tranches triangulaires issues à partir du centre d’une pizza circulaire, un réarrangement de l’ordre cyclique des tranches ne change pas le bord circulaire de la pizza.
