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D282. Le polygone à 2013 côtés. *** Montrer qu’il existe un polygone convexe de 2013 côtés qui satisfait les conditions suivantes :

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(1)

D282. Le polygone à 2013 côtés. ***

Montrer qu’il existe un polygone convexe de 2013 côtés qui satisfait les conditions suivantes :

1) Ses côtés ont pour longueur les entiers naturels 1, 2, ..., 2013 pas nécessairement pris dans cet ordre.

2) Le polygone est inscrit dans un cercle.

Solution proposée par Michel Lafond :

Dans la figure ci-dessus, on a : .

Les deux conditions imposées seront satisfaites dans un cercle de rayon R si . Le diamètre D du cercle doit être au moins égal à 2013. Or f est fonction décroissante de R sur l’intervalle [ avec f ( ) ≈ 1147 et f ( ) = 0.

L’équation a donc une solution unique : R ≈ 322622.

côté c

rayon R

α

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