Programme de tracé du polygone convexe associé a une loi symétrique

L ES CAHIERS DE L ’ ANALYSE DES DONNÉES

Y. E ^L B ^ORGI

Programme de tracé du polygone convexe associé a une loi symétrique

Les cahiers de l’analyse des données, tome 3, n

2 (1978), p. 219-234

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Les Cahiers de l'Analyse des Données Vol. III - 1978 -n°2-p. 219-234

PROGRAMME DE TRACÉ DU POLYGONE CONVEXE ASSOCIÉ A UNE LOI SYMÉTRIQUE

[COSYM]

par Y. El Borgi (1)

1 Obio.t du pn.oqh.amme. : On rencontre souvent des tableaux rigoureu- sement symétriques, tableau de Burt, tableau de distances, tableau d e proximités ; on a des tableaux carrés I x I dont la dissymétrie systéma- tique est faible (matrices de confusion cf TI A n° 2 § 4 ; et J.P.Benzécri in Rev. Stat. Appl. : Vol XVII, pp 5-62, 1970) , en sorte qu'on peut a- vec avantage analyser le tableau symétrisé : k??1? = (k.., + k.,.)/2. Par- fois (c'est le cas notamment pour les tableaux de flux) la diagonale

(éléments k..) n'est pas connue; ou sa définition est problématique ; ce qui incite à considérer avec un table/au symétrique f _ d'autres tableaux fT I construits à partir de celui-ci comme il est rappelé au § 2. L'en- semble de ces tableaux (qui fournissent tous les mêmes facteurs mais avec des v. p. différentes) constitue un polygone convexe plan, dont la r e - présentation géométrique peut avoir l'intérêt pratique d'attirer 1' a t - tention sur un tableau f__ , pour lequel le taux d'inertie afférent aux premiers facteurs est particulièrement élevé, d'où finalement une r e - constitution améliorée des données à partir des facteurs. Le programme publié ici réalise le tracé du polygone convexe associé à une loi symé- trique. Un autre article de ce même cahier (cf [ T R A F I C ] p p 2 03-

218) donne un exemple de modèle de trafic conçu après 1'analyse d'un ta- bleau symétrique et examen du polygone associé.

2 Rgppal àmn. lz& coJiKe,6yondanc.e.6 t>um2.£ni.QVL2.à : (cf L'Analyse d e s D. TII B n° 9, [Corr. Sym.]). Les facteurs issus d'un tableau de c o r - respondance symétrique fT T se répartissent en deux classes:

facteurs directs : V i e I : F (i) = G (i) ; a a facteurs inverses : V i e I : Fa(i) = -G (i) .

Cette notion dont le rôle dans l'interprétation est manifeste, dé- pend toutefois grandement du poids accordé à la diagonale du tableau. De façon précise, soit f une correspondance symétrique ; f-j-sa loi m a r g i - nale : à f sont associées sur I x I deux lois symétriques :

la loi diagonale, notée f ou f-ry39 : V i, i' e I : f .d. , = ô . . , . f. ;

i l ' i l ' i

la loi produit, notée fp ou f Pr o d . II o u *II V i, i' c ! ^: f P., = ^f. . ^{f ± i} . (1) Docteur 3° cycle.

Soit u , v deux nombres réels ; notons w = 1 - u - v . Considérons la loi :

f

ii -

i i

ii

* S •

Physiquement la loi f ^ peut bien représenter la même réalité que f : on conçoit qu'en modifiant quelque peu les conditions d'une expéri- ence ou la définition des données recueillies on puisse passer de fi;r à fîîj sans cesser d'étudier le même objet.

La formule de reconstitution des données en fonction des facteurs nous fournit immédiatement l'analyse factorielle de f ^ à partir de cel- le de fTI- On a :

f

iï- =

i

i'<

y<

<v

*c>a

>

ainsi les facteurs (facteurs normalisés de variance 1 ^ ) sont les mê- mes pour f et f ^ , la valeur propre et la parité X et e changeant seulement suivant la formule :

UUV)'« . eu v = uXl« e + v ; et a a a

il apparaît à l'examen de cette formule que la parité (e^V) peut varier avec u , v.

Pour une étude d'ensemble des lois f__ ainsi associées à f__ , il convient de considérer tous les couples (u,v) de nombres (réels, non-né- cessairement positifs) auxquels il correspond un tableau f__ ne conte- nant que des nombres positifs : i.e. tels que :

V i,.i' e I : u f± i. + v ôi i i f± + ( 1 - u - v ) f ^ , * 0.

Ce système d'inégalités définit dans le plan des (u,v) un polygone convexe P que l'on appelle polygone convexe associé à la loi symétri- que f ; et dont chaque point peut être identifié à la loi correspon- dante. Dans le plan du polygone on peut tracer deux droites passant par

fli e t délimitant deux angles opposés par le sommet : l'un où tous les

facteurs sont directs ; l'autre où tous les facteurs sont inverses. De plus est définie dans ce plan une métrique euclidienne naturelle :

d

((u,v), (u',V)) = M « C r e

- < ^

> c

')

}

= ^((u- uMAjf ea + (v - v'))2} ;

(où la somme est étendue au Card I - 1 facteurs) . Muni de cette métrique le polygone convexe associé à f_T est le même crue celui associé à l'un Quelcon- que des f!jj : ce polygone caractérise la correspondance symétrique étu- diée, indépendamment des choix faits quant à l'importance de la diago- nale (v) ou des termes produits ( 1 - u - v ) . Se distinguent en particulier

1 2 sur la figure les deux points f et f tent le plus de la droite fp r o d fd i a g.

1 2

sur la figure les deux points f et f du polygone associé qui s' écar

ICOSYM] 221

3 ConàtKii et Ion du. polygone, convexe. aAAocXë à une, loi 6yme.tx.lquz : P+ ={fiî '( u'v ) ^ R2 ? V i, i' £ I : fu^, > 0}

+ = rruv . ,„ . , B2 . „ , , , _ _ . , , - l-fc _uv

Pex = {fïl I (u'VÏ e Rz ; V i, i' e I : i ^ i'=* f^,> 0};

P*.={f^V |(u,v) e R2 ; V i e I : f ™ > O} . On a : P+ = P^n P+..

Pdi e s t u n P°lyg°ne convexe ayant au plus n = Card I côtés (puisque c'est l'intersection de n demi-plans) et contenant à son intérieur les r^-î^,* *<*iad _ JD1 . -prod _ ,.00

points fZI = fIX et f^ ~ f ^ .

P est un angle de sommet f j î ^ contenant f?j° à son intérieur, puisqu'à chaque inégalité f"Y, > O, correspond un demi-plan c o n t e n a n t f ^ à son intérieur et dont la droite frontière passe par fTia g

(i ^ 1« - f ^ ?g = O ) .

+ + + ' P = P n P,. est donc un convexe limité à au plus n + 2 droites a- yant fXjS g sur sa frontière et contenant fjj° à son intérieur.

Avec la distance rappelée ci-dessus, le produit scalaire de deux sur

né par

vecteurs (u,v), (u',v') , issus de l'origine (0,0) = f°° = fP£o d est don-

N((u,v) , (u',v')) = l{ (u \l£ ea + v) (u'X^2 ea + v') | a e A) ; * D'où pour les vecteurs de base des axes 0u?0v :

N(C1,0), (1,0))= Il (1,0) Il 2= mal a e A} = trace (f Z I) =d2 ( ^ ? fIZ>;

N((0,1), (0,1)) = 11(0,1)112 = n - 1 = d2<fP£°d, fd^ag) ; N ( ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0 ) ) = Z{Xⁱⁿ e \a e A}

e t p o u r l e c o s i n u s d e l ' a n g l e d e s a x e s Ou , Ov :

c o s 6 = Z{\™ e^a | a e A } / ( ( n - l )^{1 / 2} . trace (f^f²) . A c h a q u e f a c t e u r <p e s t a s s o c i é e l a d r o i t e d ' é q u a t i o n :

( xu v1 / 2 uv m w + v = O ; a a a a

cette droite, passant par f?ï° = fTT f délimite dans P deux r é g i o n s l'une où «p est direct ((Xuv)1/2 eu v > O) l'autre où v?a est inverse ; l'en- semble de ces droites définit des secteurs angulaires ayant chacun sa signature propre : notamment, (comme on l'a annoncé au § 1) le secteur contenant fjjag où tous les facteurs sont directs, et son opposé, o ù tous sont inverses.

* où. A désigne l'ensemble des Card I - 1 facteurs de fJT autres que le facteur trivial constant.

4 Lz pn.OQKa.mmz COSYM

L e p r o g r a m m e s e d é c o m p o s e e n 11 p a r t i e s :

A) Lecture des paramètres et du tableau des données, avec symétrisation"

de ce tableau si le paramètre NSYM est différent de zéro (cf § 5) . B) Calcul du tableau de fréquence à partir du tableau de contingence.

C)

On a

Calcul des coefficients des droites f. . = 0.

f

ll - ° •

i ±

ft-o

O V = « f .2- f±±)/ifL " f± 2) ) u - t}/{ft- f .2) O n r e m a r q u e q u e si p o u r i e I, f. . = 0 , la d r o i t e fuY

le p o i n t (1,0) . 1 X x l

0 passe par D) Calcul des coefficients des deux droites formant l'angle P

Calculons l'équation de la droite f

^ii' O ~ u(fi ±. ^{f. f - ,)} _{i i'} ii'

v f . f - ,

O p o u r i ? i*

+ « i f i . - o

c e t t e d r o i t e p a s s e p a r le p o i n t ( 0 , 1 ) . Il s u f f i t d o n c d e p r e n d r e le m i - n i m u m d e s C . . , = 1/(1 - f.. ,/(f. f. , )) p o s i t i f s e t le m a x i m u m desC.., né- g a t i f s s u r l ' a x e d e s u .

i Ci i '

D a n s l e c a s o ù l e s C

ii' sont t o u s p o s i t i f s ou tous négatifs on p r e n - d r a l e u r m i n i m u m e t l e u r m a x i m u m , e t o n a les d e u x c a s s u i v a n t s

LC0SYM1 223 S'il existe i et i ', i f4 i ' , tels que fi±, = O alors C± i, = 1 et la

droite : u + v = 1 est un des côtés de l'angle. Appelons C et D les deux valeurs de C. . , trouvées. Les deux côtés de l'angle P auront comme é- quations respectives :

v = - (I/O u + 1 v = - (1/D) u + 1

E) Détermination des sommets C du polygone convexe et du point f le plus éloigné de la droite fPr o d fd l a g.

Il suffit de considérer l'ensemble des intersections de coordonnées (u,v) des droites déterminées en C) et D) , et de ne garder que celles pour lesquelles :

V (i,i') e I x l : fU^, > O.

Le carré de la distance d'un point de coordonnées (u,v) à la droi- te produit fp r o f«i a9^ ±,G. à la droite passant par l'origine (u = v = 0) et le point f a g (u = 0, v = l ) étant proportionnel à u (et ceci quelque soit la métrique adoptée dans le plan des (u,v)) , le point f du polygone convexe 1 e plus éloigné de la droite précédente est le sommet de ce convexe, de co- ordonnées (u,v) dont la valeur absolue de l'abscisse |u| est maximale.

F) Calcul et impression du tableau optimal f . G) Calcul de l'angle des axes et de leur échelle.

H) Calcul et impression des caractéristiques du tableau optimal f (valeurs propres - parités - pourcentages d'inertie)

I) Détermination des intersections F des droites des facteurs avec la droite u = l et de l'angle où tous les facteurs sont directs.

Les droites caractérisant les facteurs ayant pour équation v=-u X1/1 e leurs intersections F avec la droite u = 1 a pour coordonnées : u = 1, v = - llf* e .En joignant l'origine aux deux points extrêmes de ces in- tersections, points qu'on note I, on obtient les droites délimitant 1 • an- gle où tous les facteurs sont directs (secteur délimité par les d e u x droites précédentes et contenant le point f i a g noté V) et l'angle o p - posé où ils sont tous inverses.

J) Passage à un repère orthonormé.

Soit e. et e_ les vecteurs (1,0) et (0,1) et 6 l'angle de ces deux vecteurs. La formule de passage des coordonnées (u,v) sur(ej , el) d'un vecteur, aux coordonnées (x,y) de ce vecteur sur un repère o r t h o n o r m é dont le premier vecteur de base est e / lle^ll s'écrit :

x = u He_ H + vlle-ll cos6 y = v "e2H sin0

lle"Tll, H e 21' et cos6 étant donnés par les. formules du §3. Dans le program- me, Ue II et Ile-Il sont respectivement notés ECH1 et ECH2.

K) Représentation graphique.

On se sert du sous-programme NUAGE pour tracer les sommets C du polygone convexe, les intersections F des droites des facteurs avec la droite u = 1 , les intersections extrêmes étant notées I ; le point f i a g

* sous- programme utilisé dans la version TABET du programme d'analyse factorielle des correspondances.

(0,1) qui est aussi un sommet du polygone convexe est noté V, comme on l'a déjà dit ci-dessus, tandis que le point (1,0) qui est également re- présenté, et qui correspond au tableau initial est noté U.

Remarques

a) L'ensemble des points F, les deux points I et le point U sont ali- gnés dans la représentation précédente.

b) Si le paramètre NVAL vaut zéro (cf § 5) le programme ne lit que le tableau de données, les valeurs propres et les parités n'étant pas con- nues -dans ce cas les étapes G) à J) ne sont pas effectuées, et la re- présentation graphique (sans les points F et I) se fait en reportant les coordonnées (u,v) sur un graphique cartésien ordinaire.

5 Modz d* zmploX. zt li.6ta.qz

5. J Mode d* zmploJL : cantz6 zn Izctunz : 1° carte : NEXPP = nombre d'expériences en 12

2° carte : carte paramètres, lue avec le format 4012.

NA = nombre de lignes = nombre de colonnes NSYM : paramètre de symêtrisation :

si NSYM est différent de 0, on symëtrise le tableau

NVAL : paramètre de lecture des valeurs propres et des pari- tés associées ; on ne lit valeurs propres et parités que si NVAL est différent de O.

NVA : paramètre associé au mode de lecture des valeurs pro- pres ; si NVA vaut 1, on lit non pas les valeurs propres, mais la raci- ne carrée de ces valeurs propres.

3° carte : Si NVAL est nul, cette carte est omise. Elle contient toutes les valeurs propres (si NVA f D t ou leurs racines carrées (si NVA=1), et est lue avec le format 10 F 8.5.

Si NA est supérieur à 11 (NA - 1 > ÎO) , et plus petit ou égal à 21, il faudra deux cartes pour lire les valeurs propres.

Si NA est compris entre 22 et 31 (22<NAs31) il faudra trois car- tes etc.

4° carte j Si NVAL est nul, cette carte est omise. Elle contient les si- gnes des facteurs, et est lue avec le format 40F2.0.

Si NA est compris entre 42 et 81 (42<NA<8l), il faudra deux car- tes pour lire les signes des facteurs.

Si NA est compris entre 82 et 121, il faudra trois cartes etc....

5° carte : Elle contient le format des données, et se trouve juste avant le paquet de données. Elle est lue avec le format 20 A 4.

6° carte et cartes suivantes : le paquet de données de la première ex- périence lu avec le format précisé sur la 5° carte ; puis viennent les paquets (précédés de 4 cartes analogues aux cartes 2 à 5) correspondant aux expériences suivantes.

Remarque : Le programme est dimensionné pour analyser des tableaux dont la dimension NA n'excède pas 50. Pour des tableaux de taille plus impor- tante, il suffira, si la valeur maximale NAMAX de NA au cours des analy- ses effectuées, dépasse 50 de modifier les trois cartes DIMENSION pla- cées au début du programme.

Le tableau DEPAR sera" dimensionné à NMAX x NMAX ; les tableaux PB, EPS, VAL seront dimensionnés à NMAX les tableaux A et B seront dimensionnés à NMAX + 2

les tableaux UA, VA, IIX, IIY et IDD seront dimensionnés â 3 * NMAX 5. 2 SontÂ.z6 du pnognammz

En sortie, on imprime

- les valeurs des paramètres NA, NSYM, NVAL, NVA

- les valeurs propres (ou leur racine carrée si NVA=1) ainsi que leur parité, cette impression n'ayant bien sûr lieu que si NVAL est non-nul.

- le format utilisé pour lire le tableau de données - le tableau de données

tCOSYMl 225

- l e t a b l e a u de données s y m é t r i s é ( s i NSYM e s t non-nul) - l e t a b l e a u symétrique des f r é q u e n c e s .

- l e s c o e f f i c i e n t s A e t B des d r o i t e s permettant de d é f i n i r l e p o - lygone convexe a s s o c i é à l a correspondance é t u d i é e .

- l e t a b l e a u o p t i m a l , avec l e s v a l e u r s a s s o c i é e s de u e t v .

- l e s c a r a c t é r i s t i q u e s de c e t a b l e a u optimal comparées avec c e l l e s du t a b l e a u i n i t i a l ( v a l e u r s p r o p r e s , p a r i t é s , pourcentages d ' i n e r t i e ) s i NVAL e s t non-nul.

- l e s coordonnées u e t v des p o i n t s i n t e r v e n a n t dans l e représenta- tion graphique, ainsi que la nature de ces points indiqués par leur s i g l e (C,F,I,U,V, cf § 4)

- l'angle 6 entre les vecteurs de base eT (1,0) e t el (0,1) des axes o u , o v , ainsi que les normes ECH1 et ECH2 de ces vecteurs, cette i m p r e s s i o n n ' a y a n t b i e n sûr l i e u que s i NVAL e s t n o n - n u l .

- l e s coordonnées des p o i n t s i n t e r v e n a n t dans l a r e p r é s e n t a t i o n gra- phique ( a i n s i que l a nature de c e s p o i n t s ) sur un système d ' a x e s o r t h o - normés dont l e premier axe e s t l ' a x e o u , c e t t e i m p r e s s i o n n ' a y a n t l i e u que s i NVAL e s t n o n - n u l .

- la représentation graphique.

Un exemple de sortie est fourni ci-dessous avec le listage du pro- gramme. Il est relatif à un tableau symétrique 8 x 8 issu d'une matrice de confusion symétrisêe (avant d'être lue sur le programme).

5.3 Ll6tagz du pnognammz zt zxzmplz dz 6ontlz

C

C SUR UNE CORRESPONDANCE SYMETRIQUE OU SYMETRISEE

C LE PROGRAMME COSYM DONNE LES PONDERATIONS U ET V TELLES QU EN ANALYSANT C U«FII +VSÎFP!DI+Ç1-U-V)FI«FI ON A LE MAXIMUM D INERTIE POUR LE MINIMUM DE C VALEURS PROPRES.

C LE PROGRAMME FOURNIT AUSSI UN GRAPHIQUE OU SONT FIGURES LES C SOMMETS DU POLYGONE CONVEXE ASSOCIE A LA CORRESPONDANCE ETUDIEE C AINSI QUE LES INTERSECTIONS DES DROITES DES FACTEURS AVEC LA C DROITE U=l , CE QUI PERMET D AVOIR L ANGLE DE SOMMET L ORIGINE C ET CONTENANT FDIAGCU=0,V=1) OU TOUS LES FACTEURS SONT DIRECTS C

DIMENSION DEPAR C50,50) ,PB(50),AC 52),B( 52)

DIMENSION UAC150) , VA(150) ,IDD(150),IIX(150),IIY(150) DIMENSION FMT(20) , VALC50),EPS(50) ,TITRE(20)

COMMUN /TR/TITRE

DATA IUU,IW,IWW,IFF,IDI /1HU, 1HV, 1HC,1HF,1HI/

DATA TITRE /4HTRAC,4HE DU,4H POL,4HYGON,4HE CO,4HNVEX,4HE AS,4HSO 1CI,4HE A ,4HUNE ,4HCORR,4HESPO,4HNDAN,4HCE S,4HYMET,4HRIQU,4HE , 23H4H /

6000 FORMATC////) 800 FORMATC//IX,20A4//)

ETA0=l.E-07 ETA5=-l.E-05 READ100, NEXPP D01285 NNAN=1,NEXPP PRINT1286

1286 FORMAT(lHl) I D O C D = I W

READ 100, NA ,NSYM,NVAL,NVA 100 FORMAT (4012)

PRINT 900, NA ,NSYM,NVAL ,NVA

900 FORMATQ0X, ^ = » , 1 3 , 5X, 'NSYMr1, 13,5X, »NVAL=',I3 ,5X,»NVA=»,13//) 160 NFAC=NA-1

FACT=NFAC

IF(NVAL.EO.0)GOTO401

R5AD 400, CVALCI),I=1,NFAC) READ 500, (EPS(I),I=1,NFAC) 400 FORMAT C10F8.5)

500 FORMAT (40F2.0)

PRINT 901, (I,EPS(I),VAL(I),I=1,NFAC)

901 FORMATC2X, M » , 3X, «PARITE», 3X, «VALEUR PROPRE*/(lX,I3,4X,F3.0,6X,F8.

15))

401 READ102, FMT 102 FORMAT (20A4) PRINT800,FMT PRINT403

403 FORMATC//IX,'TABLEAU INITIAL'/) NB = NA

DO 103IA=1,NA

READ FMT, (DEPAR(IA,JB),JB=1,NB) PRINT150, CDEPARCIA,JB),JB=1,NB) 103 CONTINUE

C

C SYMETRISATION DU TABLEAU C

IF(NSYM.EQ.0)GOTO402 PRINT404

404 FORMATC//1X, «TABLEAU SYMETRISEV) D016IA=1,NFAC

LC0SYM1 2 2 7

IABN=IA+1 D015JB=IABN,NA

C=(DEPARCIA,JB)+DEPARCJB,IA))/2.

DEPARCIA,JB)=C DEPARCJB,IA)=C 15 CONTINUE

PRINT150, CDEPARCIA,JB),JB=1,NB) 16 CONTINUE

402 TOTAL =0.

DO 104 IA=1,NA DO 104 JB=1,NB

104 TOTALrTOTAL +DEPARCIA,JB) C

C CALCUL DU TABLEAU DES FREQUENCES C

DO 106 JB=1,NB PB(JB) = 0 DO 105 IA=1,NA

105 PB CJB)=PBCJB)+DEPAR(IA,JB) 106 PB(JB)=PBCJB)/TOTAL

PRINT149

149 FORMATC//IX,'TABLEAU DES FREQUENCES»/) DO110IArl,NA

D0111JB=1,NB

111 DEPARCIA,JB)=DEPARCIA,JB)/TOTAL

110 PRINT150, C DEPARCIA,JB),JBrl,NB),PBClA) PRINT150, CPBCJB),JB=1,NB)

150 FORMATC 1X,10E11.5) COEF1=1.E+09 COEF2=-COEFl COEF3=0 . COEF4=0 . C

C CALCUL DESCOEF DES DROITES :FIJ=0 C

NANA=NA-1 DO303IA=l,NANA

NBNB=IA+1 DG302JB=NBNB,NA

TTA= l.-DEPARCIA,JB)/CPBCIA)«PBCJB)) TTT=SIGNC1-E+08,TTA)

IFCABSCTTA).GE.1.E-08)TTT=1./TTA IF CTTT.GT.0.)COEFl=AMINlCCOEFl,TTT) IF CTTT.LT.O.) COEF2rAMAXlCCOEF2,TTT) IFCTTT.GT.O.) COEF3=AMAXl CCOEF3,TTT) IFCTTT.LT.O.) COEF4=AMINl CCOEF4,TTT) 302 CONTINUE

303 CONTINUE

ETA1=COEF1-1.E+09 ETArABSCETAl)

IFCETA.LE.ETA0)COEFl=COEF4 ETA1=COEF2+1.E+09

ETArABSCETAl)

IFCETA.LE.ETA0)COEF2=COEF3 AC1)=-1./COEF1

AC2)=-l./COEF2 BC1)=1.

BC2)=1.

C

C CALCUL DES COEF DES DROITES:FII=0

DO 202 IA=1,NA

DEM=PB(IA)-PBCIA)KPBCIA) K=IA+2

ACK)=PBCIA)KPBCIA)-DEPARCIA, IA) BCK)=-PBCIA)«PBCIA)

ACK)=ACK)/DEM BCK)=BCK)/DEM 202 CONTINUE

NBDROI=NA+2 PRINT420

420 FORMATC////IX, «COEFFICIENTS A B DES DROITES YrAX+B V3X,'I»,5X, 2 »A',10X,»B»/)

PRINT450,O, ACI),BCD, I=l,NBDROI) 450 F0RMATC1X,I3,2E12.5)

UMAX=0.

KMAXrl NCONrO NBD=NA+1 D012KP=1,NBD JC=KP+1 APrACKP) BPrBCKP) D02KS=JC,NBDROI C

C INTERSECTION DES DROITES KP , KS C

ASrACKS) BSrBCKS)

IFCABSCAS-AP).GE.l.E-08) GOT03 IFCABSÇBS-BP).GE.1,E-08)GOT023 PRINT151 ,KS,KP

GOT02

23 PRINT152, KS,KP GOT02

151 FORMATC1X,'LES DROITES»,13,* ET ',I3,! SONT CONFONDUES») 152 FORMATC 1"X, * LES DROITES», 13, » ET ',13, • SONT PARALLELES')

3 UAA=CBS-BP)/CAP-AS) VAA=CAP:!BS-BPiîAS)/CAP-AS) C

C L INTERSECTION APPARTIENT ELLE AU CONVEXE C

D04Krl,NBDROI

IFCK.EQ.KP.OR.K.EQ.KS) GOT04 TP=UAA!ïA(K)+BCK)-VAA

IFCK.GE.3)TP=-TP IFCTP.LT. ETA5 )GOT02 4 CONTINUE

C

C L INTERSECTION APPARTIENT AU CONVEXE C

NCON=NCON+l UACNCON)=UAA VACNCON)rVAA

IFCNCON.GT.l)IDDCNCON)=IWW IFCABSCUAA).LE.UMAX)GOT02 UMAX = ABSCUAA)

KMAXrNCON 2 CONTINUE 12 CONTINUE

IC0SYM1 229

8 F0RMATC1X, 3CI6,E15.8)) UrUACKMAX)

VrVACKMAX) C

C CALCUL DU TABLEAU OPTIMAL CMAXIMUM D INERTIE POUR LE MINIMUM DE C VALEURS PROPRES) , TABLEAU ASSOCIE A^FII+V^FIIDIAG +Cl.-U-V)»FIIPRODUCT C,LE POINTCU,V) ETANT LE POINT DU CONVEXE LE PLUS ELOIGNE DE LA DROITE C FIIDIAGC0,1) FIIPROD C0,0)

C

PRINT6000 PRINT410 ,U,V

410 FORMATC1X, 'TABLEAU OPTIMAL'/IX,'U=',E15.8,5X,'V=',E15.8/) W=l.-U-V

DO 108 IA=1,NA DO 107 JB=1,NB

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107 DEPAR CïA,JB) r DEPARCIA,JB)»U +PP+PQ 108 PRINT150, CDEPARClA,JB),JBrl,NB),PBClA)

PRINT150, CPBCJB),JB=1,NB) IFCNVAL.EQ.0)GOTO476

C

C CALCUL DE L'ANGLE ET DES ECHELLES DES AXES C

SOMlrO.

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DO 501 I=1,NFAC IFCNVA.EQ.DGOT017 EPSCI)=EPSC ï)»SQRTCVALCI)) GOT018

17 EPSCO=EPSCl)!îVALCO VALCOrVALCD^ALCD 18 CONTINUE

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ECHlrSQRTCSOM2) ECH2=SQRTCFACT) COCOrSOMl/CECH1«ECH2) TETAr ACOSCCOCO) PRINT6000 C

C IMPRESSION DES CARACTERISTIQUES DU TABLEAU OPTIMAL C

PRINT6012

6012 FORMATC20X,'TABLEAU INITIAL',20X,'TABLEAU OPTIMAL»/) PRINT6013

6013 FORMATC2X,'I',2X,'RACINE CARREE DE»,2X,'VALEUR PROPRE»,2X,'POURCEN 2TAGE',2X,'RACINE CARREE DE»,2X,'VALEUR PROPRE»,2X,'POURCENTAGE'/

3,5X,»LA VALEUR PROPRE»,17X,»D INERTIE»,4X,»LA VALEUR POPPRE»,17X, 4'D INERTIE»/11X,'SIGNEE',40X,'SIGNEE'/)

6011 FORMATClX,I3,E17.8,E15.8,E11.4,E17.8,E15.8,E13.4) Dlr SOM2:îU «U +2.îîSCMl«V:îU +FACT«V«V

DO6010Irl,NFAC DOrEPSCD DrV +EPSCO-U EOrVALCO ErDÎ-2

F0rl00.îîE0/SOM2 F=100.^{Î Î}E/DI

6010 PRINT6011,I,D0,E0,F0,D,E,F PRINT6000

C

C INTERSECTIONS DES DROITES DES FACTEURS AVEC LA DROITE Url C

Cl=l.

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607 IFCEPSCD.GE.C1) GOTO606 IKlrNCON

ClrEPSCO 606 CONTINUE

IDDCIK1)=IDI IDDCIK2)=IDI C

C REPRESENTATION GRAPHIQUE C

476 NCON=NCON+l IDDCNCON)=IUU UACNCON)=l.

VACNCON)=0.

PRINT407

407 FORMATCIX,'COORDONNEES U ET V DES SOMMETS C DU CONVEXE, ET DES 1 INTERSECTIONS F DES DROITES»/IX,'DES FACTEURS CDROÏTES PASSANT 2 PAR L ORIGINE) AVEC LA DROITE U=l.»,/lX,»LES DROITES EXTREMES 3 CPASSANT PAR 0)DELIMANT L ANGLE CONTENANT FDIAG CPOINT V CU=0 4,V=1))»,/1X , «OU TOUS LES FACTEURS SONT DIRECTS ONT 5 LEURS INTERSECTIONS AVEC U=l NOTEES P /

6 IX,'SI NVAL = 0 ,LES POINTS I ET F NE SONT PAS MARQUES'/) D014l=l,NCON

14 PRINTll,I,UACl),VACD,IDDCO IFCNVAL.EQ.0)GOTO477 PRINT6000

PRINT502, COCO,TETA,ECH1,ECH2

502 FORMATC1X,'COS TETA=',F10.5,2X,'TETA=»,F10.5,2X,»ECH1=»,F10.5, 12X,»ECH2r»,F10.5///)

PRINT408

408 FORMATC1X,'COORDONNEES SUR DES AXES ORTHORNOMES'/) DO10I=l,NCON

UACI)=UACI)"ECH1 +VACI)»ECH2»COSCTETA) VAC ï )=VAÇ I ) îiECH2«S INCTETA)

PRINT11, I , U A C I ) , VACD, IDDCD 11 F0RMATC1X,I6,2E15.8,1X,A3) 10 CONTINUE

477 CONTINUE MXrl

CALL NUAGE CNCON,UA,VA,IDD,1,1,1, 1,2, IIX, IIY, IDD) 1285 CONTINUE

STOP END

LCOSYM] 231

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