Le polygone à 2013 côtés
Problème D282 de Diophante
Montrer qu’il existe un polygone convexe de 2013 côtés qui satisfait les conditions suivantes :
1) ses côtés ont pour longueur les entiers naturels 1, 2, … , 2013 pas nécessairement pris dans cet ordre.
2) le polygone est inscrit dans un cercle.
Solution
Remarquons que la permutation de deux côtés adjacents d'un polygone
convexe inscrit dans un cercle, engendre un nouveau polygone convexe inscrit dans un cercle, qui possède les mêmes longueurs de côtés que le précédent.
Autrement dit, l'existence d'un polygone convexe inscrit dans un cercle dont les côtés mesurent 1, 2, … , 2013 implique l'existence de 2013 ! tels polygones (en
considérant comme distincts deux polygones images en miroir l'un de l'autre).
Présentement, montrons l'existence d'un polygone P convexe inscrit dans un cercle C dont les côtés mesurent successivement 1, 2, … , 2013.
Le périmètre de P mesure 1 + 2 + 3 + … + 2012 + 2013 = 2013* 1007. Il est inférieur au périmètre de C mais du même ordre de grandeur.
Sur un cercle Cd de diamètre d choisissons un point origine A0 et reportons des cordes successives Ai-1Ai de longueur entière i, de 1 à 2013.
Le diamètre d ayant été choisi assez grand (d = 700 000), le point A2013 est obtenu avant d'avoir fait un tour sur Cd. Faisons diminuer d ; le point A2013 se
rapproche de A0. La distance A0 A2013 est une fonction continue croissante de d. Elle sera nulle pour une unique valeur de d.
Plus précisément, en notant O le centre de C et ai l'angle arcsin(i/d), on a : angle (OAi-1, OAi) = 2*ai et les points A2013 et A0 seront confondus lorsque la somme des ai vaudra π.
Avec un simple tableur, on trouve qu’il existe un polygone convexe de 2013 côtés qui ont pour longueur les entiers naturels 1, 2, … , 2013, inscrit dans un cercle de diamètre 645 243, 62.
