D285. Le carrousel des fourmis
La reine des fourmis se trouve en un point F d’où elle voit une brindille rectiligne XY sous un angle α de 20°15’. Elle place dans le sens anti-horaire p fourmis ouvrières aux sommets x1,x2,... d’un polygone régulier de p + 2 côtés dont XF est l’un des côtés et qui est extérieur au triangle FXY. De la même manière, elle place dans le sens horaire q fourmis ouvrières aux sommets y1,y2,... d’un polygone régulier de q + 2 côtés dont YF est l’un des côtés et qui est extérieur au triangle FXY.
(voir un exemple ci-après avec p = 5 fourmis sur les sommets x1,x2,x3,x4 et x5 d’un heptagone et q= 3 fourmis sur les sommets y1,y2 et y3 d’ un pentagone ).
La reine des fourmis se déplace sur la courbe (Γ) située au dessus de la brindille XY d’où elle voit cette dernière toujours sous le même angle α.Toutes les fourmis respectent à tout moment le carrousel des deux polygones réguliers qui se dilatent ou se rétractent proportionnellement à FX et FY quand la reine se déplace. Quand celle-ci a achevé son périple de X en Y, quatre fourmis ont parcouru exactement la même distance. Sachant qu’il y a au total 77 fourmis ouvrières, déterminer Veuillez trouvez ci-joint nos tarifs actuels ainsi qu'une présentation de nos conditions de livraison et de paiement.
et q.
Dans la figure ci-dessus, la somme des nombres de côtés des deux polygones est 5+7=12 le nombre de fourmis est 8 = 12 – 4. Dans notre problème le nombre de fourmi est 77, la somme des nombres de côtés des deux polygones est 77 + 4 = 81.
La distance parcourue par la fourmi Xp est la même que celle parcourue par la reine car Xp est l'image de F par la rotation de centre X et d'angle FXXp = pΠ /(p+2). Posons p'=p+2, les similitudes directes de centre X qui appliquent F sur X1 ,X2 ,..Xk , etc.. ont pour rapport sin((k+1)Π/p')/sin(Π/p') et des résultats analogues pour les fourmis Y . On remarque aussi que si i+j = p, les distances parcourues par Xi et Xj sont égales. Il faut donc trouver p' et q' tels que p'+q'=81 et deux entiers h et k tels que sin((hΠ/p')/sin(Π/p') = sin(kΠ/q')/sin(Π/q'). Il semble nécessaire que p' divise q' (ou l'inverse). On pourrait donc essayer les couples (3,78), (9,72), (27, 54).
Une exploration systématique donne l'unique solution p'=27 q'=54 , h=13 ou 14 , k=9 ou 45.
On peut vérifier que sin(13Π/27)/sin(Π/27) = sin(9Π/54)/sin(Π/54).
Les deux polygones ont respectivement 27 et 54 côtés.
Dans ces conditions les fourmis X12 et X13 , Y8 et Y44 auront parcouru la même distance.
