D282. Le polygone à 2013 côtés
Montrer qu’il existe un polygone convexe de 2013 côtés qui satisfait les conditions suivantes : 1) ses côtés ont pour longueur les entiers naturels 1, 2, ..., 2013 pas nécessairement pris dans cet ordre.
2) le polygone est inscrit dans un cercle.
Solution proposée par Paul Voyer
La polygone a pour périmètre 2013*2014/2.
Il ne tient pas dans un cercle de rayon Rmin=
2
1007
*
2013 .
Il tient dans un cercle de rayon Rmax=
4 1007
* 2013 .
Si l'on construit dans un ordre quelconque 2013 flèches consécutives sur un cercle de rayon intermédiaire, l'angle résultant, voisin de 2 , est fonction continue décroissante du rayon du cercle.
Cet angle est supérieur à 2 pour Rmin et inférieur à 2 pour Rmax.
Il existe donc une valeur de R telle que l'angle vaut 2 .