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D20466. Diagonales liées
Dans ce polygone régulier A1A2. . . An, on a la relation entre diagonales 1
A1A4 = 1
A1A7 + 1
A1A10. Quel est n? Solution
Les diagonalesA1A4, A1A7, A1A10sous-tendent respectivement 3, 6 et 9 cô- tés du polygone et ont des mesures proportionnelles à sinx,sin(2x),sin(3x) en posantx= 3π/n. La condition de l’énoncé s’écrit
0 = 2 cosxsin(3x)−sin(2x)−sin(3x) = sin(4x)−sin(3x) = 2 cos(7x/2) sin(x/2).
L’angle 7x/2, de cosinus 0, doit être un multiple impair de π/2, donc 21/n est un entier impair. Le polygone ayant au moins 10 sommets,n= 21.
