Diagonales dans un hexagone
Problème D237 de Diophante
Dans un hexagone ABCDEF, la diagonale AD partage l’hexagone en deux quadrilatères de même surface. Il en est de même quand on trace les diagonales BE et CF. Montrer que les trois diagonales AD, BE et CF sont concourantes.
Solution
Adoptons les notations ci-contre et supposons que les points a, b et c sont distincts et que les diagonales AA’, BB’ et CC’ partagent l’hexagone chacune en deux parts de même aire.
Les triangles aBC’ et aB’C ont même aire car ils sont complémentaires du quadrilatère aBA’C pour une moitié de la surface de l’hexagone. Il s’ensuit que : aB.aC’ = aC.aB’ ; soit aB/aB’ = aC/aC’.
A
A’
B B’
C
C’
a c b
Notons u ce rapport commun et, de même, notons v = bA/bA’ = bC/bC’ et enfin w = cA/cA’ = cB/cB’. L’inégalité bA > cA entraîne v > w ; de même cB > aB entraîne w > u et aC > bC entraîne u > v. Les trois points a, b et c ne peuvent être distincts. Ils n’en font qu’un z et zA/zA’ = zB/zB’ = zC/zC’
Autrement dit z est barycentre des couples (A, A’), (B, B’) et (C, C’) pour un même jeu de coefficients. Cette condition nécessaire est manifestement suffisante.
Les hexagones étudiés sont-ils nombreux ?
Un hexagone, quant à sa forme (invariant de similitude), dépend de huit paramètres réels : deux points étant fixés arbitrairement, il s’agit d’en choisir quatre autres (deux réels pour chacun).
A
A’
B B’
C
C’
z
Ici, les hexagones étudiés ne dépendent que de cinq paramètres réels : A et B étant fixés arbitrairement, il s’agit de choisir C, z et le rapport zA/zA’.
Les hexagones étudiés ne sont donc pas rares.
