D237 : Diagonales dans un hexagone
Soient I, J et K les points d’intersections respectifs de AD et BE, BE et CF, CF et AD : si deux d’entre eux sont confondus, le troisième l’est également ; s’ils ne sont tous trois confondus, ils forment donc un triangle, et, quitte à renommer les sommets ou à prendre l’hexagone symétrique, on peut supposer que sur AD, I est plus proche de A et K de D, et que sur BE, I est plus proche de B et J de E. Il en résulte que sur CF, K est plus proche de C et J de F. En d’autres termes, IA/ID<KA/KD, IB/IE<JB/JE, KC/KF<JC/JF.
Puisque les quadrilatères ABCD, ADEF, BCDE et BEFA ont même surface, il en est de même des triangles IAB et IDE ; même chose pour JBC et JEF, ainsi que pour KCD et KFA. Ces paires de triangles ont des angles au sommet égaux, donc les produits des cotés adjacents sont égaux, ce que l’on peut encore écrire :
IA/ID=IE/IB, JB/JE=JF/JC et KC/KF=KA/KD ce qui est contradictoire avec les inégalités ci-dessus : en effet IA/ID<KA/KD donc IE/IB<KC/KF, mais KC/KF<JC/JF=JE/JB<IE/IB.
Il en résulte que les trois points I,J, et K sont confondus, donc que les grandes diagonales de l’hexagone sont concourantes.
