D297. Diagonales dans un hexagone ****
Déterminer le nombre maximal de diagonales de même longueur dans un hexagone convexe. Donner un exemple de la configuration ainsi obtenue.
Solution de Claude Felloneau
Un hexagone convexe a 9 diagonales. 7 au maximum sont de même longueur.
En effet, s’il existe un réel positifatel que l’hexagoneABC DE F a 8 ou 9 diagonales de longueursa, alors il existe au plus une diagonale de longueur différente dea. Il y a donc au moins 4 sommets dont les trois diagonales issues de chacun de ces sommets ont pour longueura. Parmi ces 4 sommets, il y en a donc au moins deux qui sont consécutifs. Par exemple, les sommetsA etB. On a alorsAC =AD=AE=aet B D=B E=B F=a.
Le quadrilatèreADB Eest donc un losange, doncAetBne sont pas dans le même demi-plan de frontière (DE), ce qui est contraire au fait l’hexagoneABC DE F est convexe. Il est donc impossible que l’hexagone ABC DE Fait 8 ou 9 diagonales de longueursa. Il en a donc au plus 7.
L’hexagone représenté ci-dessous est convexe et a exactement 7 diagonales de même longueur.
AC Eest un triangle équilatéral.
Best l’un des points d’intersection de la médiatrice de [AC] avec le cercle de centreEpassant parA.
Fest l’un des points d’intersection de la médiatrice de [AE] avec le cercle de centreC passant parA.
Dest l’un des points d’intersection du cercle de centreBpassant parEet du cercle de centreF passant parC.
C E
A
B F G
D
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