D297. Diagonales dans un hexagone
Déterminer le nombre maximal de diagonales de même longueur dans un hexagone convexe. Donner un exemple de la configuration ainsi obtenue.
Solution proposée par Claudio Baiocchi
Parmi les neuf diagonales d’un hexagone régulier on a trois segments longs et six courts qui, à leur tour, peuvent être groupées en deux triangles équilatères. Il n’est pas difficile raccourcir la diagonale longue AD en déplaçant horizontalement un des deux triangles, de façon à obtenir un hexagone ayant sept diagonales de même longueur :
Si, au lieu que raccourcir AD, on raccourcit EB en déplaçant en verticale un des deux triangles, on parvient à la figure de gauche :
tandis que la figure de droite s’obtient par contraction du côté BF du triangle BDF ; le côté CE devient une diagonale d’un pentagone régulier ou, ce qui revient au même, un côté d’un pentagone étoilé régulier.
On va montrer que les exemples trouvés fournissent des solutions optimales ; en d’autres termes il n’existe pas d’hexagones dont huit diagonales ont même longueur.
Naturellement dans un hexagone non régulier la notion de diagonale longue ou courte doit être reformulée ; au moins pour ce qui concerne les hexagones convexes, tout en perdant l’interprétation en termes de longueur on gardera l’adjectif courte pour une diagonale qui laisse un sommet d’un côté et trois de l’autre ; les diagonales longues étant naturellement celles qui laissent deux sommets de chaque côté.
En particulier, pour trouver un hexagone éventuel dont huit diagonales auraient même longueur, on devra décider si renoncer à une diagonale courte ou à une
longue ; en tout cas il faudra avoir au moins 5 diagonales courtes et deux diagonales longues d’égale mesure ; ensuite on décidera si essayer de rajouter une huitième diagonale longue ou une courte de la bonne mesure.
Les diagonales courtes étant au moins cinq, notre hexagone devra encore contenir un triangle équilatéral ; par exemple le vert, soit ACE. Soit la mesure des côtés de ABC ; si une diagonale longue partant de A (resp. de C, ou de E) avait longueur , le point opposé D (resp. F, ou B) devrait se trouver sur un arc de cercle comme indiqué en figure, de façon à laisser de chaque côté deux sommets du futur hexagone :
Maintenant on remarque que, pour tout choix d’un couple de points sur deux arcs différents la distance entre les points du couple est toujours plus petite que ; sauf si les points sont chacun sur un sommet, cas qui ne nous intéresse pas. En particulier :
Si l’on veut trois diagonales longues de mesure , quelle que soit le choix des points B, D, F sur les trois arcs, les trois diagonales courtes engendrées auront longueur strictement inférieure à ; l’hexagone résultant aura seulement six diagonales (trois longues plus les trois côtés du triangle de départ) de mesure .
Si l’on se contente de deux seules diagonales longues de mesure (par
exemple BE et CF) la diagonale courte résultante BF sera trop courte ; mais on peut la prendre comme base d’un triangle isocèle dont les côtés mesurent , parvenant ainsi à un hexagone avec sept diagonales mesurent : deux des longues, plus les trois courtes du triangle de départ, plus les deux côtés du triangle isocèle. On a déjà vu une solution de ce type : celui associé aux diagonales d’un pentagone étoilé.
Finalement, si l’on se borne à une seule diagonale longue de mesure , on peut construire un hexagone dont les diagonales courtes manquantes forment un deuxième triangle avec tout côté de mesure . Les deux exemples de départ correspondaient à accepter comme « bonne » diagonale longue respectivement AD et BE.
