D297 - Diagonales dans un hexagone
Déterminer le nombre maximal de diagonales de même longueur dans un hexagone convexe.
Donner un exemple de la configuration ainsi obtenue.
Solution par Patrick Gordon
Une solution à 6 diagonales évidente est l'étoile de David (en rouge).
On peut passer à 7 diagonales en "remontant" le triangle BDF de façon que AD' = AE = AC.
L'ampleur de la "remontée" est caractérisée par AA' = AE (1 – √3/2), soit, par rapport à l'ancienne valeur de AA' = AE √3/6, une "remontée" de AE (2√3/3 – 1) = 0,1547 AE.
Montrons qu'on ne peut pas avoir 8 diagonales de même longueur (donc a fortiori plus de 8;
il n'y en a que 9 en tout). On aura ainsi établi que 7 est le maximum.
Par commodité de langage, nous appellerons "rouge" une diagonale de la longueur donnée, et
"simple" ou "double" ou "triple" un sommet de l'hexagone d'où partent (ou où arrivent) respectivement 1, 2 ou 3 diagonales "rouges".
À l'évidence, s'il n'y a que des sommets "simples" ou "doubles", on atteindra 6 diagonales rouges au plus.
S'il y a un sommet "triple", on peut aller jusqu’à 7 (c'est le cas que nous venons de voir). S'il y a deux sommets triples mais que ces deux-là sont opposés (c’est-à-dire à distance 3 sommets sur le pourtour de l'hexagone) on n'a au plus que 7 diagonales rouges (car celle qui les joint serait comptée deux fois; c'est encore le cas que nous venons de voir).
Il nous faut donc montrer que l'on ne peut pas avoir 4 sommets doubles et 2 sommets triples à distance 1 (adjacents) ni à distance 2 (appelons-les "cousins").
cas de 2 sommets triples adjacents
Sur la figure (approximative), on a supposé que tous les sommets "cousins" sont reliés deux à deux, soit 6 diagonales rouges et que A et F (adjacents) sont triples. Comme chacun n'a plus qu'une diagonale libre pour être triple, celles-ci sont respectivement AD et FC. Mais, pour que AD soit rouge (c’est-à-dire pour que AD = AC), il faudrait que A soit sur la bissectrice de CD.
Pour la même raison, F devrait y être aussi et, de plus, A et F devraient être sur cette même bissectrice à la même distance de CD (puisque CA = DF) et du même côté de CD (en raison de la convexité de l'hexagone).
A et F seraient confondus, l'hexagone serait dégénéré.
cas de 2 sommets triples "cousins"
Si F et A sont adjacents, A et C ou F et D sont "cousins".
Le raisonnement qui vient d'être fait vaut donc aussi pour deux sommets "cousins".
Conclusion :
On ne peut pas avoir 8 diagonales de même longueur; 7 est le maximum.
