D237. Diagonales dans un hexagone
Dans un hexagone , la diagonale partage l’hexagone en deux quadrilatères de même surface. Il en est de même quand on trace les diagonales et . Montrer que les trois diagonales , et sont concourantes.
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Les égalités des aires des quadrilatères s’écrivent :
^ ^ 1
^ ^ 2 ^ ^ 3 On peut transformer ce système en :
^ ^ ^ 0 1 2
^ ^ ^ 0 2 3 ^ ^ ^ 0 3 1 Cela équivaut à dire que parallèle à , parallèle à , parallèle à .
C'est-à-dire encore que les triangles et sont homothétiques.
Les droites , , sont donc concourantes au centre de cette homothétie.
D
B A
F
E C
