• Aucun résultat trouvé

(1)D297 - Diagonales dans un hexagone

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "(1)D297 - Diagonales dans un hexagone"

Copied!
1
0
0

Texte intégral

(1)

D297 - Diagonales dans un hexagone [*** à la main]

Déterminer le nombre maximal de diagonales de même longueur dans un hexagone convexe. Donner un exemple de la configuration ainsi obtenue.

Solution proposée par Bernard Vignes

La figure ci-contre montre qu'il est possible de tracer sept diagonales de même longueur dans un hexagonne convexe.

Les coordonnées des sommets de l'hexagone sont les suivantes:

A: (0,0), B : (5, 10 − 5√3), C : (5,5√3), D : (0,10), E : (− 5, 5√3) et F :(− 5 , 10 − 5√3).

La longueur commune des 7 diagonales AC,AD,AE,BD,BF,CE et DF est égale à 10.

Supposons qu'il y ait huit diagonales dans un hexagone convexe ABCDEF dont les longueurs sont égales. Il y a C(6,2) − 6 = 15 − 6 = 9 diagonales dans l'hexagone.

Il y a deux cas à considérer:

1) La neuvième diagonale dont la longueur est différente des huit autres, est choisie parmi les six diagonales AC,BD,CE,DF,EA,FB. Sans perte de généralité, on retient AC.

On a EC = EB = FB = FC. Les sommets B et C sont tous deux sur la médiatrice de EF. Comme ABCDEF est convexe, B et C doivent être du même côté par rapport à la droite EF, donc être confondus ce qui est impossible.

2) Cette neuvième diagonale est choisie parmi les trois diagonales AD,BE et CF. Sans perte de généralité, on retient AD. On a à nouveau EC = EB = FB = FC avec la même impossibilité que précédemment.

Conclusion: 7 est bien le nombre maximum possible de diagonales de même longueur.

Références

Documents relatifs

Nous utiliserons dans ce TP le langage de programmation Python au moyen de l’environnement de d´evelop- pement IDLE.. Le but de ce TP est de d´ecouvrir la biblioth`eque de calcul

Dans un hexagone , la diagonale partage l’hexagone en deux quadrilatères de même surface.. Il en est de même quand on trace les diagonales

Un hexagone, quant à sa forme (invariant de similitude), dépend de huit paramètres réels : deux points étant fixés arbitrairement, il s’agit d’en choisir quatre autres (deux

Soient I, J et K les points d’intersections respectifs de AD et BE, BE et CF, CF et AD : si deux d’entre eux sont confondus, le troisième l’est également ; s’ils ne sont tous

Montrer que les dix-huit diagonales de ces quadrilatères sont concourantes trois par trois et que les six points obtenus sont alignés trois par trois.. On introduit un

Considérons en toute généralité un quadrilatère ABCD quelconque ayant des diagonales de longueurs données et déterminant un angle donné entre elles.. Prouvons que le

Naturellement dans un hexagone non régulier la notion de diagonale longue ou courte doit être reformulée ; au moins pour ce qui concerne les hexagones convexes, tout en

Il y a donc au moins 4 sommets dont les trois diagonales issues de chacun de ces sommets ont pour longueur a. Parmi ces 4 sommets, il y en a donc au moins deux qui