D297 - Diagonales dans un hexagone [*** à la main]
Déterminer le nombre maximal de diagonales de même longueur dans un hexagone convexe. Donner un exemple de la configuration ainsi obtenue.
Solution proposée par Bernard Vignes
La figure ci-contre montre qu'il est possible de tracer sept diagonales de même longueur dans un hexagonne convexe.
Les coordonnées des sommets de l'hexagone sont les suivantes:
A: (0,0), B : (5, 10 − 5√3), C : (5,5√3), D : (0,10), E : (− 5, 5√3) et F :(− 5 , 10 − 5√3).
La longueur commune des 7 diagonales AC,AD,AE,BD,BF,CE et DF est égale à 10.
Supposons qu'il y ait huit diagonales dans un hexagone convexe ABCDEF dont les longueurs sont égales. Il y a C(6,2) − 6 = 15 − 6 = 9 diagonales dans l'hexagone.
Il y a deux cas à considérer:
1) La neuvième diagonale dont la longueur est différente des huit autres, est choisie parmi les six diagonales AC,BD,CE,DF,EA,FB. Sans perte de généralité, on retient AC.
On a EC = EB = FB = FC. Les sommets B et C sont tous deux sur la médiatrice de EF. Comme ABCDEF est convexe, B et C doivent être du même côté par rapport à la droite EF, donc être confondus ce qui est impossible.
2) Cette neuvième diagonale est choisie parmi les trois diagonales AD,BE et CF. Sans perte de généralité, on retient AD. On a à nouveau EC = EB = FB = FC avec la même impossibilité que précédemment.
Conclusion: 7 est bien le nombre maximum possible de diagonales de même longueur.