D239. Neuf quadrilatères, dix-huit diagonales et six points
Problème proposé par Pierre Jullien.
Deux faisceaux de trois droites respectivement concourantes en deux points distincts et déterminent neuf quadrilatères , , , , , , , , . Montrer que les dix-huit diagonales de ces quadrilatères sont concourantes trois par trois et que les six points obtenus sont alignés trois par trois.
Solution
Calculs préliminaires
Six vecteurs , , , , , quelconques de l’espace vérifient:
, , . . , , , ,
, , , , , , , , , , (1) Il découle de la relation (1) que :
ux, vy, wz " wy, uz, vx " vz, wx, uy
, , , , , , , , " , , , , , , , , " , , , , , , , , , , " , , " , , 0 (2) Il découle encore de la relation (1) que :
, ,
, , , , , , , ,
0 , , , , 0 , , , , , , , , 0, , , , 0 , , , , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , , ,
, , , , , , , , (3)
Géométrie projective
On choisit six points %, &, ', (, ), * quelconques d’un plan +.
On introduit un repère orthonormé ,, , -, . de l’espace, tel que + soit le plan orthogonal à ,. passant par ..
On pose ,%//////0, ,&/////0, ,'///////0, ,(/////0, ,)/////0, ,*/////0.
Autrement dit, on pose , , , , , coordonnées homogènes de %, &, ', (, ), * dans le plan projectif +.
Le théorème de Pappus (forme duale) se déduit de la relation (2) :
%(, &), '* concourantes et '), %*, &( concourantes 1 , , 0 et wy, uz, vx 0
1 , , 0 1 &*, '(, %) concourantes Le théorème de Desargues se déduit de la relation (3) :
UX, VY, WZ concourantes 1 , , 0
1 , , 0 1 &' 8 )*, '% 8 *(, &% 8 )( alignés
Retour à l’énoncé
En appliquant six fois le théorème de Pappus, on obtient :
, , concourantes et , , concourantes 1 , , concourantes en 9 , , concourantes et , , concourantes 1 , , concourantes en : , , concourantes et , , concourantes 1 , , concourantes en ; , , concourantes et , , concourantes 1 , , concourantes en <
, , concourantes et , , concourantes 1 , , concourantes en , , concourantes et , , concourantes 1 , , concourantes en = En appliquant ensuite deux fois le théorème de Desargues, on obtient :
, , concourantes 1 8 , 8 , 8 alignés 1 =, :, < alignés , , concourantes 1 8 , 8 , 8 alignés 1 , 9, ; alignés Note : Dans certaines configurations, 9, :, ;, <, , = peuvent être des points impropres du plan projectif +.
