D297 - Diagonales dans un hexagone
Déterminer le nombre maximal de diagonales de même longueur dans un hexagone convexe.
Donner un exemple de la configuration ainsi obtenue.
Solution par Jacques Guitonneau
Montrons d’abord que le nombre de diagonales de même longueur ne peut excéder 7. Soient A, B, C, D, E, F les sommets dans l’ordre de l’hexagone en question.
Si 7 diagonales ou plus sont de même longueur, il y a au moins un sommet à partir duquel les 3 diagonales sont égales. En effet de chaque sommet de l’hexagone partent 3 diagonales et si le maximum de diagonales de même longueur issues de tous les sommets était 2 il y aurait au maximum 2*6/2 soit 6 diagonales de même longueur.
Soit A ce sommet et AC, AD et AE les diagonales en question de longueur d. On ne peut évidemment pas construire le point F équidistant de longueur d à partir de C et D, ni le point B équidistant de longueur d à partir D et de E. Les points en question seraient le symétrique de A par rapport à CD et DE respectivement, ce qui est incompatible avec la construction de
l’hexagone convexe.
On peut par contre construire un hexagone à 7 diagonales de même longueur, Il s’agit d’un hexagone construit à partir d’une étoile de David aplatie et dont la distance de deux sommets opposés est égale à la longueur de chaque côté des triangles ainsi que le montre la figure ci- dessous..
