D297 Diagonales dans un hexagone.
Déterminer le nombre maximal de diagonales de même longueur dans un hexagone convexe. Donner un exemple de la configuration ainsi obtenue.
On peut construire un hexagone convexe dont sept des neuf diagonales sont égales : On part d'un segment AD de longueur d.
Sur le cercle de centre A de rayon d on porte un point B dont l'image par la rotation de centre A de +60° est le point C d'où un triangle équilatéral ABC.
Sur le cercle de centre D de rayon d on porte un point E dont l'image par la rotation de centre D de +60° est le point F d'où un triangle équilatéral DEF.
L'hexagone AFBDCE possède 7 diagonales de longueur d : AC=AD=AB=BC=DE=DF=EF.
Quel que soit le choix des points B et E , la diagonale EB n'est de longueur d que si E = A ou si B = D ( il n'y a plus d'hexagone) de même CF = d seulement si C = D ou si F = A ( il n'y a plus d'hexagone ) Le nombre maximal de diagonales de même longueur dans un hexagone convexe est sept.