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Note relative aux intersections intérieures des diagonales d'un polygone convexe

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

L IONNET

Note relative aux intersections intérieures des diagonales d’un polygone convexe

Nouvelles annales de mathématiques 2e série, tome 19 (1880), p. 456-457

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1880_2_19__456_0>

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NOTE RELATIVE AUX INTERSECTIONS INTÉRIEURES DES DIAGONALES D'UN POLYGONE CONVEXE;

PAR M. L I O X N N E T .

THÉORÈME. — Le nombre in des intersections inté- rieures des diagonales d'un polygone convexe de n côtés est égal au nombre c)t des combinaisons de ses n sommets quatre à quatre*

Dans un polygone convexe de n côtés, quatre sommets, pris comme on voudra, sont les sommets d'un quadrila- tère convexe où les diagonales, qui sont deux diagonales du polygone proposé, se coupent à l'intérieur du qua- drilatère et, par suite, à l'intérieur du polygone.

Réciproquement, si deux diagonales du polygone pro- posé s'y coupent intérieurement, leurs extrémités sont quatre sommets du polygone5 donc in= cka.

Remarque I. — L'énoncé du théorème précédent, plus exact que celui déjà publié deux fois dans les Nouvelles Annales (années 1848 et 1880, p. 91 et 44), diffère de celui-ci en ce que l'expression points d'intersection y est remplacée parle mot intersections. La raison en est que, si plus de deux diagonales se coupent en un même point intérieur au polygone, plusieurs intersections in- térieures de deux diagonales correspondent à ce seul point d'intersection. Ainsi, par exemple, dans l'hexa- gone régulier, où la formule i«= c\ donne ia pour le nombre des intersections intérieures des diagonales, on trouve seulement treize points intérieurs d'interseclîon, ce qui tient à ce que trois des neuf diagonales se coupent au centre du polygone.

Remarque IL— Les auteurs qui ont donné précédem-

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ment la démonstration de la formule/,, = c* ont cru de- voir calculer d'abord le rapport de /„ à /„_! ou la diffé- rence /„ — in-i 5 mais il m'a semblé beaucoup plus simple d'en donner une démonstration directe.

JSote du Rédacteur. — M. le professeur de Virieu remarque de même que ce théorème, dont on a donne des démonstrations dans les Nouvelles Annales (années i8'|8 et 1880, p. gi et 44)> cesse d'être rigoureusement exact lorsque trois ou plus do trois diagonales du polygone considère se coupent en un même point interieur.

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