Démonstrations de théorèmes énoncés dans les Nouvelles annales

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

M ^AURICE D’ ^OCAGNE

Démonstrations de théorèmes énoncés dans les Nouvelles annales

Nouvelles annales de mathématiques 2

série, tome 19

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DÉMONSTRATIONS DE THEOREMES ÉNONCÉS DANS LES NOUVELLES ANNALES;

PAR M. MAURICE D'OCAG^E.

l a reniaiqua nie solution géométrique, donnée dan^c les Nouvelles jfnnalss, de la question proposée à l'ad- mission à l'Ecole Polytechnique en 1878 contient les théoièmes suivants, dont l'auteur engage à recherche!

les démonstiations. Voici ces théorèmes :

1. On a un triangle isoscèle ath. On mène les Heur haut au * tc^y ao: ces droites <e coupent en u. On pro- longe te jusqu'en A, dejnçon que es soit égale à la dis- tance du point o à la base ah. On joint le point a au point s et le point a au point z^y milieu de tu : démon- tier que l angle zas est dtoit (1) .

Si oh est la perpendiculaire abaissée du point o sui la hase ah, on a

( u ac oh ah

d'où

't

l'où

oh

oh Xct =

soi ie, t XMÏ, v^ en

te 'oh

oh

P- '\

—

X bh

oh

bc bh

bc

\ at ah

7ii

bh

( 3o5 )

Additionnons membre à membre; il vient

» / \ ~~.' ah -\- bh oh f eu -+- et) — ok X oc.

1 ah X bh

OU

2

— a 2 tf£

2 W X CZ = C* X ~IZ_~ 5

par suite,

c? X C3 = ac ,

ce qui démontre que l'angle saz est droit.

2. On a un triangle boa et les points cJ et b', milieux ries cotés oa, ob\ on prend un point quelconque m sur ta base; on a

ma a'm — on' . .

tiib ,, j / b m — ob

Tirons om et projetons a' et b' en h et i sur cette droite. Si a' V coupe otn en n^ ce point est le milieu de om, et l'on a

Donc

c . Q . F . D.

3. Un point d'une conique, le pied de la perpendi- culaire abaissée du centre sur la tangente en ce point et les extrémités de l'un des axes sont sur une même circonjèrence de cercle (2).

(*) T . X V I I , p . 4 i 2 .

Cs) T . X V I I , p . 4 i 3 , e t t . X I X , p . 7 .

Ann. de Mathémat.,i**erW, t. XIX.. (Juillet 1880.) 2O a'

I'

a' b' m

ni ni

m _

—

—

on

Vb

oa'

~o~b'

- 2

z=z lom

— 2 0/72

X X

hn na!

in Aib'

hn in.

y

ma mb

( 3o6 )

Soient ni un point d'une conique de centre o, mt la tangente en ce point qui coupe Taxe aa^f en f, i le pied de la perpendiculaire abaissée de o sur mt. Sur Taxe aa^f comme diamètre je décris une circonférence, et du point ni j'abaisse sur aaf la perpendiculaire mh qui coupe cette circonférence en p et aa' en h\ [il est tangente en p. à la circonférence.

Le quadrilatère mhoi étant inscriptible, on a tm X ti = th X to.

Mais le triangle rectangle ouA donne

2

th Xto — tp . Donc

2

tm yC^ti — ty •=. ta X ta'.

Par suite, le quadrilatère ami a' est înscriptible.

On ferait une démonstration analogue pour les som- mets fc, b^f.

Ce théorème nous a conduit au suivant :

Si la tangente au point ni d'une conique coupe l'axr oa en t el l'axe oh en 5, on a

st mt

os

7>h ^et

-—- —st m s

ot on

En etïet, le triangle rectangle sot donne ) os = si X st

sb' i-sb\

— si X sm H- si X mt.

Mais, d'après le théorème précédent,

si X sm — sb X sa'.

( 3o⁷ Donc

(sb' '- c, .

^ 2 OU

c'est-à-dire

2 ) oh =z s?X nU.

Divisant (i) et (2) membre à membre, il vient

— 2

os st

~~~,'2 mt où

On établirait de même la seconde relation.