D624 – La M-configuration [**** à la main]
Solution de Pierre Jullien (22 manipulations)
Les cercles de centre A et de rayons égaux à AB et à AC coupent respectivement la droite BC aux points U et V. On construit ensuite le point W quatrième sommet du parallélogramme AVUW en traçant les deux arcs de cercle l’un centré en A et de rayon UV = BC et l’autre centré en U et de rayon égal à AV = AC. La droite UW qui est parallèle à AV coupe le cercle de centre U et de rayon UA = AB au point X.
La droite BX coupe AC au point F. Le cercle de centre F et de rayon FC coupe le côté BC au point E. Enfin le cercle de centre E et de rayon EF donne le point D à l’intersection avec le côté AB.
Cette construction géométrique repose sur le fait que la ligne brisée BAUX constituée des trois segments égaux BA, AU et UX est homothétique à la ligne BDEF dans une homothétie de centre B.
Au total 6 arcs de cercle et 2 droites (UW et BX) ont été tracés et représentent 8 manipulations.
On répète ces mêmes manipulations pour obtenir la M-configuration associée à B.
En ce qui concerne la M-configuration associée à C, on remarque que les trois droites AE, BH et JK sont concourantes d’après le théorème de Ceva. En effet en désignant par
C et B A,
les angles aux sommets du triangle ABC, on vérifie aisément que dans les trois M-configurations les points E, H et J partagent respectivement les côtés BC, AC et AB dans les rapports
C cos
B cos EC EB
,
A cos
C cos HA HC
et
B cos
A cos KB KA
, ce qui
donne 1
KB .KA HA .HC EC
EB .
Le tracé des deux droites AE et BH donne alors le point d’intersection S et la droite CS coupe AB au point K.
Il ne reste plus qu’à tracer la médiatrice de AK à partir du cercle (déjà tracé) de centre A et de rayon AC et du cercle de centre K et de même rayon. Elle coupe AC en J. Enfin le cercle de centre K et de rayon KJ coupe BC en L. Pour cette troisième M-configuration, 6
manipulations (4 droites et 2 arcs de cercle) ont été suffisantes.
Le bilan complet fait donc apparaître 2*8 + 6 = 22 manipulations.
