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D237 Si on trace seulement les deux diagonales AD et BE, elles d´ecoupent l’hexagone (d’aire

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Academic year: 2022

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D237

Si on trace seulement les deux diagonales AD et BE, elles d´ecoupent l’hexagone (d’aireS) en deux triangles (d’airesS1etS2) et deux quadrilat`eres (d’airesS3etS4). DeS1+S3 = S2 =S2+S3 on d´eduitS1 =S2.

Supposons que les trois diagonales AD, BE et CF ne soient pas concourantes: elles d´eterminent au centre de l’hexagone un triangle de sommets P,Q,R. D’apr`es ce qui pr´ec`ede, aire(PAB)=aire(PDE), aire(QCD)=aire(QFA) et aire(REF)=aire(RBC). On a doncP A×P B > QD×RE,QC×QD >

RF ×P A etRE×RF > P B×QC d’o`u en multipliant ces trois in´egalit´es :P A×P B×QC× QD×RE×RF > P A×P B×QC×QD×RE×RF. Il y a une contradiction, les diagonales AD, BE et CF sont donc concourantes.

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