Correction de l’interrogation écrite n◦10
Exercice 1 1. −−→
CE (−2 ; 1 ;−1) et −−→
CF (−1 ; 2 ; 0) donc x−−→CE ×y−−→CF = −2×2 = −4 et y−−→CE ×x−−→CF = 1×(−1) =−16=−4. Ainsi, les coordonnées de −−→
CE et−−→
CF ne sont pas proportionnelles et donc les vecteurs −−→
CE et−−→
CF ne sont pas colinéaires. Ainsi, les trois points C, E et F ne sont pas alignés et définissent donc un plan.
2. Étudier la coplanarité des vecteurs−−→
AB , −−→
CE et−−→
CF revient à étudier l’existence de deux réels a etb tels que −−→
AB =a−−→
CE +b−−→
CF . En coordonnées, cela donne :
(T)
1 =−2a−b 2 =a+ 2b 1 =−a
⇔
1 = −2(−1)−b 2 = −1 + 2b a=−1
⇔
b = 1 b = 32 a=−1 Les deux premières égalités sont incompatibles donc les vecteurs −−→
AB , −−→
CE et −−→
CF sont non coplanaires.
3. On en déduit que la droite (AB) est sécante au plan (CEF).
Exercice 2. — On calcule les carrés des longueurs des trois côtés de ABC :
AB2 = (−2−(−3))2 + (−1−2)2+ (9−5)2 = 1 + 9 + 16 = 26 AC2 = (0−(−3))2+ (1−2)2+ (9−5)2 = 9 + 1 + 16 = 26 BC2 = (0−(−2))2+ (1−(−1))2+ (9−9)2 = 4 + 4 = 8
Il s’ensuit que AB = AC donc ABC est isocèle mais AB6= BC donc ABC n’est pas équilatéral.
De plus, si ABC était rectangle alors, comme il est isocèle en A, il serait rectangle en A et donc BC serait l’hypoténuse i.e. le plus long côté. Ce n’est pas le cas donc ABC n’est pas rectangle.
Exercice 3 1. −−→
AB (−4 ;−1 ;−4) et−−→
AC (−1 ; 0 ;−7) donc−−→
AB ·−−→
AC = (−4)×(−1) + (−1)×0 + (−4)× (−7) soit −−→
AB ·−−→
AC = 32.
AB=
−−→AB
=q(−4)2+ (−1)2+ (−4)2 =√ 33 AC =
−−→AC
=q(−1)2+ 02+ (−7)2 =√ 50 2. On sait que −−→
AB · −−→
AC = AB ×AC ×cosBAC[ donc cosBAC[ =
−−→AB ·−−→
AC
AB×AC donc cosBAC[ = 32
√33√
50. À l’aide de la calculatrice, on en déduit que BAC[ ≈38,0◦.
