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Exercice 1 ( 4 points ) :
L’espace est muni d’un repère orthonormé O, i , j ,k .
1) On considère le plan P passant par le point B( 1, -2, 1 ) et de vecteur normale
P
2 n 1
5
ainsi que le plan
R : x 2y 7 0 a) Démontrer que P et R sont perpendiculaires.
b) Les deux plans Pet R se coupent suivant la droite
. Déterminer une équation paramétrique de la droite
. Vérifier que
passe par le point C ( - 1, 4 , -1) et que le vecteur
2 u 1
1
est un vecteur directeur 2) Soit le point A ( 5, -2 ,-1 ) . Calculer
d A, 3) Soit S l’ensemble des points M( x , y ,z ) tel que :
x2y2z24x 2z 0 a) Démontrer que S est une sphère et en préciser les coordonnées de son centre I et de son rayon R .
b) Démontrer que S est tangente au plan R
c) La sphère S coupe le plan P suivant un cercle ( C ) . Déterminer les coordonnées de son centre et son rayon .
Exercice 2 ( 4 points) :
On pose
I0
06sin3xdxet, pour tout nombre n entier naturel non nul,
6
0 sin3
In xn xdx
. 1°) a) Calculer I
0.
b) En utilisant une intégration par parties, calculer I
1.
2°) a) En effectuant deux intégrations par parties successives, démontrer que, lorsque n 1,
n 1
n 2 n
n 2 (n 2)(n 1)
I I
9 6 9
b) Vérifier que I
3=
27 2 108
2
.
3°) Sans calculer l’intégrale I
n.
a) Montrer que la suite (I
n)
nNest monotone.
b) Pour tout nombre n entier naturel non nul, comparer I
nà
06xn dx. c) Déterminer
nnlim I
.
L.S Marsa Ekriadh
4ème année
Prof M.Zribi
Devoir de synthèse N°2 Section : Sciences Ex.
Epreuve : Mathématiques.
Durée : 3 h. Coefficient : 3 A.S 2009/20010
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Exercice 3 ( 5 points)
Soit f la fonction définie sur ] 0 ; +[ par : f(x)= x 1 ln x
x x
On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
1) On considère la fonction g définie sur ]0 ; +[ g(x) = x2 – 2 + ln x.
a) Etudier les variations de g et démontrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution telle que : 1,31 < < 1,32.
b) En déduire le signe de g sur ]0 ; +[.
2) a) Montrer que, x>0 ; f '(x) g(x)
x² b) Dresser son tableau de variation de f .
3) a) Démontrer que la droite (D) d’équation y = x est asymptote à C.
b) Etudier la position de (C) par rapport à (D).
4) Démontrer que f() = 2 – α 1.
5) Tracer la courbe (C).
6) calculer l’aire du domaine D délimité par la courbe C, l’axe des abscisses et les droites : x=1 et x=e.
Exercice 4 (4points) :
Les membres d’un jeune groupe de musique présentent une chanson lors d’une audition.
Dans le morceau qu’ils jouent, il y a un passage délicat sur lequel ils ne sont pas tout à fait au point.
En effet :
− le guitariste joue parfaitement ce morceau trois fois sur quatre,
− la chanteuse échoue dans 50 % des cas si le guitariste se trompe et, sinon, elle commet des erreurs une fois sur cinq.
Les autres musiciens maîtrisent parfaitement leur partition.
On appelle G l’évènement : « le guitariste joue parfaitement le morceau ».
On appelle C l’évènement :« la chanteuse interprète le morceau sans faire d’erreur.
1. Dessiner un arbre de probabilités qui modélise la situation décrite précédemment.
2. a) Déterminer la probabilité P G C que le groupe interprète la chanson sans erreur.
b) Calculer la probabilité qu’un, et un seul, des membres du groupe se trompe.
c) Déterminer la probabilité que la chanteuse interprète sans erreur le morceau.
3. Calculer P G C / .
4. On admet que la probabilité qu’aucun des membres du groupe ne commette d’erreur est 0,6. Le groupe participe avec sa chanson à trois concours, les trois prestations étant indépendantes les unes des autres. Quelle est la probabilité qu’ils jouent parfaitement à au moins l’un des trois concours ?
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Nom ……….. Prénom………..
Exercice 5 ( 3 points ) :
Pour chacune des questions ci-dessous, une seule réponse est exacte. Désigner cette réponse. On ne demande pas de justifications.
1. La courbe représentative de la fonction logarithme népérien admet pour tangente au point d’abscisse 1 la droite d’équation :
y x 1 y x 1 y x e
2. La courbe ci-contre est celle de la fonction x 1
xdéfinie sur
0,
. D et D’ sont les droites d’équations respectives : x = e et x = 1 .L’aire de la partie hachurée du plan en u.a. est égale à :1 2 e
211
1 e1 23. On considère dans l’espace les deux vecteurs 1 u 2 3
et
3 v 2 1
. Le produit vectoriel u v est é :
4 z 8 4
-16
4 w 8
4
4. Le solide ci-après est obtenu par rotation autour de l’axe des abscisses de la courbe représentative d’une restriction de la fonction x ln(x) x . Le volume de ce solide de révolution est égale à :
e2 1
2
e2 1
2
e2 1 2